Question

直角三角形紙片ABC中，∠ACB=90°，AC≤BC，如圖，將紙片沿某條直線折疊，使點(diǎn)A落在直角邊BC上，記落點(diǎn)為D，設(shè)折痕與AB、AC邊分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)F．探究：如果折疊后的△CDF與△BDE均為等腰三角形，那么紙片中∠B的度數(shù)是多少？寫(xiě)出你的計(jì)算過(guò)程，并畫(huà)出符合條件的折疊后的圖形．

Answer 1

分析：先確定△CDF是等腰三角形，得出∠CFD=∠CDF=45°，因?yàn)椴淮_定△BDE是以那兩條邊為腰的等腰三角形，故需討論，①DE=DB，②BD=BE，③DE=BE，然后分別利用角的關(guān)系得出答案即可．

解答：解：∵△CDF中，∠C=90°，且△CDF是等腰三角形，
∴CF=CD，
∴∠CFD=∠CDF=45°，
設(shè)∠DAE=x°，由對(duì)稱性可知，AF=FD，AE=DE，
∴∠FDA=

1

2

∠CFD=22.5°，∠DEB=2x°，
分類如下：
①當(dāng)DE=DB時(shí)，∠B=∠DEB=2x°，
由∠CDE=∠DEB+∠B，得45°+22.5°+x=4x，
解得：x=22.5°．此時(shí)∠B=2x=45°；
見(jiàn)圖形（1），說(shuō)明：圖中AD應(yīng)平分∠CAB．
②當(dāng)BD=BE時(shí)，則∠B=（180°-4x）°，
由∠CDE=∠DEB+∠B得：45°+22.5°+x=2x+180°-4x，
解得x=37.5°，此時(shí)∠B=（180-4x）°=30°．
圖形（2）說(shuō)明：∠CAB=60°，∠CAD=22.5°．
③DE=BE時(shí)，則∠B=（

180-2x

2

）°，
由∠CDE=∠DEB+∠B得，45°+22.5°+x=2x+

180-2x

2

，
此方程無(wú)解．
∴DE=BE不成立．
綜上所述∠B=45°或30°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了翻折變換及等腰三角形的知識(shí)，有一定的綜合性，在不確定等腰三角形的腰時(shí)要注意分類討論，不要漏解，另外要注意方程思想在求解幾何問(wèn)題中的應(yīng)用．