Question

如果一次函數(shù)y=-x+1的圖象與x軸、y軸分別交于點A點、B點，點M在x軸上，并且使以點A、B、M為頂點的三角形是等腰三角形，那么這樣的點M有

1. A.
   3個
2. B.
   4個
3. C.
   5個
4. D.
   7個

Answer 1

B
分析：分別令一次函數(shù)y=-x+1中x=0和y=0求出相應(yīng)的y與x的值，得到A和B的坐標(biāo)，進(jìn)而得到OA與OB的長，利用勾股定理求出AB的長，根據(jù)題意可分4種情況考慮，當(dāng)BM=BA時，由BO垂直于MA，根據(jù)三線合一得到O為MA的中點，由OA得長得到OM的長，根據(jù)M為x軸負(fù)半軸的點寫出此時M的坐標(biāo)即可；當(dāng)AB=AM時，由AB的長，得到AM的長，進(jìn)而由AM-OA得到OM的長，寫出M的坐標(biāo)即可；當(dāng)MA=MB時，此時M與原點O重合，寫出M的坐標(biāo)；當(dāng)AB=AM時，由AB的長得到AM的長，由OA+AM得到OM的長，寫出M的坐標(biāo)即可．
解答：解：一次函數(shù)y=-x+1中令x=0，解得y=1；令y=0，解得x=1，
∴A（1，0），B（0，1），即OA=OB=1，
在直角三角形AOB中，根據(jù)勾股定理得：AB=，
分四種情況考慮，如圖所示：
當(dāng)BM₁=BA時，由BO⊥AM₁，根據(jù)三線合一得到O為M₁A的中點，此時M₁（-1，0）；
當(dāng)AB=AM₂時，由AB=，得到OM₂=AM₂-OA=-1，此時M₂（1-，0）；
當(dāng)BA=AM₃時，由AB=，得到AM₃=，則OM₃=OA+AM₃=1+，此時M₃（1+，0）；
當(dāng)M₄A=M₄B時，此時M₄與原點重合，此時M₄（0，0）．
綜上，這樣的M點有4個．
故選B．
點評：此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，以及一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想，在分類討論分情況解決數(shù)學(xué)問題時，必須認(rèn)真審題，全面考慮，做到不重不漏，一次分類必須按同標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，分出的每一部分不需都是相互獨立的．本題要求學(xué)生求出相應(yīng)線段后，注意根據(jù)點在坐標(biāo)軸上的位置選擇合適的符號，進(jìn)而寫出坐標(biāo)．