【題目】如圖,拋物線的頂點坐標(biāo)為C(0,8),并且經(jīng)過A(8,0),點P是拋物線上點A,C間的一個動點(含端點),過點P作直線y=8的垂線,垂足為點F,點D,E的坐標(biāo)分別為(0,6),(4,0),連接PD,PE,DE.
(1)求拋物線的解析式;
(2)猜想并探究:對于任意一點P,PD與PF的差是否為固定值?如果是,請求出此定值;如果不是,請說明理由;
(3)求:①當(dāng)△PDE的周長最小時的點P坐標(biāo);②使△PDE的面積為整數(shù)的點P的個數(shù).
【答案】(1)拋物線的解析式為y=﹣x2+8;(2)PD與PF的差是定值,PD﹣PF=2;(3)①P(4,6),此時△PDE的周長最小;②共有11個令S△DPE為整數(shù)的點.
【解析】(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+h)2+k
∵點C(0,8)是它的頂點坐標(biāo), ∴y=ax2+8
又∵經(jīng)過點A(8,0),
有64a+8=0,解得a=
故拋物線的解析式為:y=x2+8;
(2)是定值,解答如下:
設(shè)P(a,a2+8),則F(a,8),
∵D(0,6),
∴PD=
PF=,
∴PD﹣PF=2;
(3)當(dāng)點P運(yùn)動時,DE大小不變,則PE與PD的和最小時,△PDE的周長最小,
∵PD﹣PF=2,∴PD=PF+2,
∴PE+PD=PE+PF+2,
∴當(dāng)P、E、F三點共線時,PE+PF最小,
此時點P,E的橫坐標(biāo)都為4,
將x=4代入y=x2+8,得y=6,
∴P(4,6),此時△PDE的周長最小.
過點P做PH⊥x軸,垂足為H.
設(shè)P(a,a2+8)
∴PH=a2+8,EH=a-4,OH=a
S△DPE=S梯形PHOD-S△PHE-S△DOE
=
=
=
∵點P是拋物線上點A,C間的一個動點(含端點)
∴0≤a≤8
當(dāng)a=6時,S△DPE取最大值為13.
當(dāng)a=0時,S△DPE取最小值為4.
即4≤S△DPE≤13
其中,當(dāng)S△DPE=12時,有兩個點P.
所以,共有11個令S△DPE為整數(shù)的點.
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次數(shù) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
小王 | 60 | 75 | 100 | 90 | 75 |
小李 | 70 | 90 | 100 | 80 | 80 |
根據(jù)上表解答下列問題:
(1)完成下表:
姓名 | 平均成績(分) | 中位數(shù)(分) | 眾數(shù)(分) | 方差 |
小王 | 80 | 75 | 75 | 190 |
小李 |
(2)在這五次測試中,成績比較穩(wěn)定的同學(xué)是誰?若將80分以上(含80分)的成績視為優(yōu)秀,則小王、小李在這五次測試中的優(yōu)秀率各是多少?
(3)歷屆比賽表明,成績達(dá)到80分以上(含80分)就很可能獲獎,成績達(dá)到90分以上(含90分)就很可能獲得一等獎,那么你認(rèn)為選誰參加比賽比較合適?說明你的理由.
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(1)若水箱的底面積為16000cm2,請求出切去的小正方形邊長;
(2)對(1)中的水箱,若盛滿水,這時水量是多少升?(注:1升水=1000cm3水)
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