Question

已知：如圖所示的兩條拋物線的解析式分別是y₁=-ax²-ax+1，y₂=ax²-ax-1（其中a為常數(shù)，且a＞0）．
（1）請(qǐng)寫出三條與上述拋物線有關(guān)的不同類型的結(jié)論；
（2）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，設(shè)y₁=-ax²-ax+1與x軸分別交于M，N兩點(diǎn)（M在N的左邊），y₂=ax²-ax-1與x軸分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)（E在F的左邊），觀察M，N，E，F(xiàn)四點(diǎn)坐標(biāo)，請(qǐng)寫出一個(gè)你所得到的正確結(jié)論，并說明理由；
（3）設(shè)上述兩條拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，直線l，l₁，l₂都垂直于x軸，l₁，l₂分別經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，l在直線l₁，l₂之間，且l與兩條拋物線分別交于C，D兩點(diǎn)，求線段CD的最大值？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的性質(zhì)寫出三條不同的結(jié)論即可；
（2）先將a=

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代入拋物線解析式，分別求得M、N、E、F四點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)四點(diǎn)坐標(biāo)寫出合理的結(jié)論；
（3）根據(jù)題意求出CD關(guān)于x的解析式，然后求出當(dāng)x=0時(shí)，CD的值最大．

解答：（1）解：答案不唯一，只要合理均可．例如：
①拋物線y₁=-ax²-ax+1開口向下，或拋物線y₂=ax²-ax-1開口向上；
②拋物線y₁=-ax²-ax+1的對(duì)稱軸是x=-

1

2

，或拋物線y₂=ax²-ax-1的對(duì)稱軸是x=

1

2

；
③拋物線y₁=-ax²-ax+1經(jīng)過點(diǎn)（0，1），或拋物線y₂=ax²-ax-1經(jīng)過點(diǎn)（0，-1）；
④拋物線y₁=-ax²-ax+1與y₂=ax²-ax-1的形狀相同，但開口方向相反；
⑤拋物線y₁=-ax²-ax+1與y₂=ax²-ax-1都與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；
⑥拋物線y₁=-ax²-ax+1經(jīng)過點(diǎn)（-1，1）或拋物線y₂=ax²-ax-1經(jīng)過點(diǎn)（1，-1）；

（2）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，y1=-

1

2

x2-

1

2

x+1，令-

1

2

x2-

1

2

x+1=0，
解得x_M=-2，x_N=1．（4分）
y2=

1

2

x2-

1

2

x-1，令

1

2

x2-

1

2

x-1=0，解得x_E=-1，x_F=2．（5分）
①∵x_M+x_F=0，x_N+x_E=0，∴點(diǎn)M與點(diǎn)F對(duì)稱，點(diǎn)N與點(diǎn)E對(duì)稱；
②∵x_M+x_F+x_N+x_E=0，∴M，N，E，F(xiàn)四點(diǎn)橫坐標(biāo)的代數(shù)和為0；
③∵M(jìn)N=3，EF=3，∴MN=EF（或ME=NF）．（6分）

（3）∵a＞0，
∴拋物線y₁=-ax²-ax+1開口向下，拋物線y₂=ax²-ax-1開口向上．（7分）
根據(jù)題意，得CD=y₁-y₂=（-ax²-ax+1）-（ax²-ax-1）=-2ax²+2．（8分）
∴當(dāng)x=0時(shí)，CD的最大值是2．（9分）

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，題中涉及拋物線的性質(zhì)以及最值的求法等知識(shí)點(diǎn)，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，是各地中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，同學(xué)們要加強(qiáng)訓(xùn)練，屬于中檔題．