Question

為了測量一個圓形鐵環(huán)的半徑，小華采用了如下方法：將鐵環(huán)平放在水平桌面上，用一個銳角為30°的直角三角板和一個刻度尺，按如圖所示的方法得到有關(guān)數(shù)據(jù)，進而求得鐵環(huán)的半徑，若測得AB=10cm，則鐵環(huán)的半徑是    ．

Answer 1

【答案】分析：由鐵環(huán)與桌面及AE邊相切，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OB與AB垂直，OC與AC垂直，再由AB與AC都為圓O的切線，根據(jù)切線長定理得到OA為角平分線，可得出∠AOB=∠AOC，再由一對直角相等，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠OAB=∠OAC，由直角三角形AED中∠E=30°，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余得到求出∠EAD的度數(shù)，進而得出鄰補角∠BAC的度數(shù)，確定出∠OAB的度數(shù)，在直角三角形OAB中，由AB的長及tan∠OAB的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出OB的長，即為圓O的半徑．
解答：解：如圖所示：連接OB，OC，OA，

∵AB為圓O的切線，
∴OB⊥AB，即∠OBA=90°，
又AC為圓O的切線，
∴OC⊥AC，即∠OCA=90°，
在Rt△ADE中，∠E=30°，∠ADE=90°，
∴∠EAD=60°，∠BAC=120°，
∵AC及AB為圓O的切線，
∴OA為∠BOC的平分線，即∠BOA=∠COA，
又∠OBA=∠OCA=90°，
∴∠OAB=∠OAC=∠BAC=60°，
在Rt△OBA中，∠OBA=90°，∠OAB=60°，AB=10cm，
∴tan60°=，即=，
則圓的半徑OB=10cm．
故答案為：10cm
點評：此題考查了切線的性質(zhì)，切線長定理，銳角三角函數(shù)定義，以及三角形的內(nèi)角和定理，是一道與實際生活密切相關(guān)的題型，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．