Question

【題目】已知：如圖，四邊形ABCD是正方形，∠PAQ＝45°，將∠PAQ繞著正方形的頂點A旋轉(zhuǎn)，使它與正方形ABCD的兩個外角∠EBC和∠FDC的平分線分別交于點M和N，連接MN．

（1）求證：△ABM∽△NDA；

（2）連接BD，當∠BAM的度數(shù)為多少時，四邊形BMND為矩形，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當∠BAM=22.5°時，四邊形BMND為矩形，證明見解析.

【解析】分析：（1）由正方形ABCD，BM、DN分別是正方形的兩個外角平分線，可證得∠ABM=∠ADN=135°，又由∠MAN=45°，可證得∠BAM=∠AND=45°-∠DAN，即可證得△ABM∽△NDA；（2）由四邊形BMND為矩形，可得BM=DN，然后由△ABM∽△NDA，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，可證得BM2=AB2，繼而求得答案．

本題解析：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠DAB=∠ADC=∠ABC=90°，AB=AD．∵∠PAQ＝45°∴∠1+∠2=45°，

∵ND平分∠FDC，MB平分∠EBC，∴∠EBM=∠FDN=45°，∴∠ABM=∠ADN=135°∠2+∠3=45° ，∴∠1=∠3 ∴△ABM∽△NDA

（2）當∠BAM=22.5°時，四邊形BMND為矩形

理由：∵∠1=22.5°，∠EBM=45°∴∠4=22.5°，∴∠1=∠4，∴AB=BM

同理AD=DN∵AB=AD∴BM=DN ∵四邊形ABCD是正方形∴∠ABD=∠ADB=45°

∴∠BDN=∠DBM=90°∴∠BDN＋∠DBM=180°∴BM∥DN

∴四邊形BMND為平行四邊形

∵∠BDN=90°∴四邊形BMND為矩形.