Question

（本題滿分12分）

已知：如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E為BC邊上一點(diǎn)，以BE為邊作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同側(cè)．

（1）當(dāng)正方形的頂點(diǎn)F恰好落在對(duì)角線AC上時(shí)，求BE的長；

（2）將（1）問中的正方形BEFG沿BC向右平移，記平移中的正方形BEFC為正方形B′EFG，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)停止平移．設(shè)平移的距離為t，正方形B′EFG的邊EF與AC交于點(diǎn)M，連接B′D，B′M，DM，是否存在這樣的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）BE=2；

（2）存在滿足條件的t，

【解析】

試題分析：（1）由于四邊形BEFG為正方形，所以得GF∥BE，從而得△AGF∽△ABC，由相似比即可得正方形的邊長，即BE長；

由已知條件可得△MEC∽△ABC，從而得ME的長，利用勾股定理分別求得△B′DM在三邊長，然后分情況討論即可.

試題解析：（1）如圖①，設(shè)正方形BEFG的邊長為x，則BE=FG=BG=x，∵AB=3，BC=6，∴AG=AB﹣BG=3﹣x，

∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC，∴，即，解得：x=2，即BE=2；

（2）存在滿足條件的t，當(dāng)t為或﹣3+時(shí)，△B′DM是直角三角形；

理由：如圖②，過點(diǎn)D作DH⊥BC于H，則BH=AD=2，DH=AB=3，由題意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t，∵EF∥AB，∴△MEC∽△ABC，∴，即，∴ME=2﹣t，

在Rt△B′ME中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2﹣t）2=t2﹣2t+8，

在Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t﹣2）2=t2﹣4t+13，

過點(diǎn)M作MN⊥DH于N，

則MN=HE=t，NH=ME=2﹣t，

∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣t）=t+1，

在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=t2+t+1，

（Ⅰ）若∠DB′M=90°，則DM2=B′M2+B′D2，

即t2+t+1=（t2﹣2t+8）+（t2﹣4t+13），

解得：t=，

（Ⅱ）若∠B′MD=90°，則B′D2=B′M2+DM2，

即t2﹣4t+13=（t2﹣2t+8）+（t2+t+1），

解得：t1=﹣3+，t2=﹣3﹣（舍去），

∴t=﹣3+；

（Ⅲ）若∠B′DM=90°，則B′M2=B′D2+DM2，

即：t2﹣2t+8=（t2﹣4t+13）+（t2+t+1），

此方程無解，

綜上所述，當(dāng)t為或﹣3+時(shí)，△B′DM是直角三角形；

考點(diǎn)：1、正方形的性質(zhì)；2、相似三角形的判定與性質(zhì)；3、勾股定理；4、分類思想.