Question

13、求證：四邊形的內(nèi)角和等于360度．

Answer 1

分析：要證明四邊形的內(nèi)角和問題，三角形的內(nèi)角和已知是180度，這樣就可以把四邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題．轉(zhuǎn)化的方法是作出四邊形一條對(duì)角線，就轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形．

解答：證明：分析應(yīng)用例3類似的方法，添加適當(dāng)?shù)钠叫芯�，將這四個(gè)角“聚合”在一起使它們之和恰為一個(gè)周角．在添加平行線中，盡可能利用原來的內(nèi)角及邊，應(yīng)能減少推理過程．
如圖所示，四邊形ABCD中，過頂點(diǎn)B引BE∥AD，BF∥CD，并延長AB，CB到H，G．則有∠A=∠2（同位角相等），∠D=∠1（內(nèi)錯(cuò)角相等），∠1=∠3（同位角相等）．
∠C=∠4（同位角相等），
又∠ABC（即∠B）=∠GBH（對(duì)頂角相等）．
由于∠2+∠3+∠4+∠GBH=360°，所以
∠A+∠B+∠C+∠D=360°．
說明（1）同例3，周角的頂點(diǎn)可以取在平面內(nèi)的任意位置，證明的本質(zhì)不變．
（2）總結(jié)例3、例4，并將結(jié)論的敘述形式變化，可將結(jié)論加以推廣：
三角形內(nèi)角和=180°=（3-2）×180°，
四邊形內(nèi)角和=360°=2×180°=（4-2）×180°．
人們不禁會(huì)猜想：
五邊形內(nèi)角和=（5-2）×180°=540°，
n邊形內(nèi)角和=（n-2）×180°．
這個(gè)猜想是正確的，它們的證明在學(xué)過三角形內(nèi)角和之后，證明將非常簡(jiǎn)單．
（3）在解題過程中，將一些表面并不相同的問題，從形式上加以適當(dāng)變形，找到它們本質(zhì)上的共同之處，將問題加以推廣或一般化，這是發(fā)展人的思維能力的一種重要方法．

點(diǎn)評(píng)：化未知為已知是解決問題的基本思路．