Question

如圖，直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，P為斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)．PE⊥BC，PF⊥CA，則線(xiàn)段EF長(zhǎng)的最小值為    ．

Answer 1

【答案】分析：先由相似三角形的判定定理證明△BEP∽△BCA；再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得出=；最后在直角三角形中的勾股定理列出一元二次方程，求二次函數(shù)的最值．
解答：解：法一：設(shè)EC=y，F(xiàn)C=x．
∵∠C=90°，PE⊥BC，PF⊥CA，
∴四邊形EPFC是矩形，
∴EP=FC=x；
∵AC=1，BC=2，
∴BE=2-y，
∵∠C=90°，PE⊥BC，
∴PE∥AC，
∴∠BPE=∠A，
又∵∠B=∠B，
∴=，即y=2（1-x）；
∵EF²=x²+y²
∴EF²=5（x-）²+（0＜x＜1），
∴當(dāng)x=時(shí)，EF_最小值==．

法二：連接PC，
∵PE⊥BC，PF⊥CA，
∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°，
∴四邊形ECFP是矩形，
∴EF=PC，
∴當(dāng)PC最小時(shí)，EF也最小，
即當(dāng)CP⊥AB時(shí)，PC最小，
∵AC=1，BC=2，
∴AB=，
∴PC的最小值為：=．
∴線(xiàn)段EF長(zhǎng)的最小值為．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查的是矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值，是綜合性較強(qiáng)的一道題．