Question

平面直角坐標(biāo)第xoy中，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，5）．B、C分別是x軸、y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，C從A出發(fā)，沿y軸負(fù)半軸方向以1個(gè)單位/秒的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B從O出發(fā)，沿x軸正半軸方向以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，點(diǎn)D是線段OB上一點(diǎn)，且BD=OC．點(diǎn)E是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且AEDB．
（1）當(dāng)t=4秒時(shí)，求過(guò)E、D、B三點(diǎn)的拋物線解析式．
（2）當(dāng)0＜t＜5時(shí)，（如圖甲），∠ECB的大小是否隨著C、B的變化而變化？如果不變，求出它的大小．
（3）求證：∠APC=45°
（4）當(dāng)t＞5時(shí)，（如圖乙）∠APC的大小還是45°嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）；（2）∠ECB的大小不變．90°；（3）證明見(jiàn)解析；（4）∠APC＞45°．

試題分析：（1）當(dāng)t=4時(shí)，知AC=OB=4，進(jìn)而知OC=1，由BD=OC,AE∥DB，AE=BD可求AE=DB=OC=1,點(diǎn)E、點(diǎn)D、點(diǎn)B的坐標(biāo)即可確定。再設(shè)出拋物線的解析式y(tǒng)=ax²+bx+c，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出a、b、c的值；
（2）連接CE，可證∠ECB=90°;
（3）由（2）可知：△ECB是等腰直角三角形，繼而可證四邊形ADBE是平行四邊形，從而∠APC=∠EBC=45°；
（4）如圖，在第二象限取點(diǎn)F，作AF∥BD，AF=BD，連接CF、BF．易得Rt△ACF≌Rt△OBC，再證△BCF是等腰直角三角形，由三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的內(nèi)角知∠APC＞45°．
（1）當(dāng)t=4秒時(shí)，AC=OB=4，由A（0，5）得C（0，1），即OC=1．
又BD=OC，AE DB，
∴AE=DB=OC=1．
∴E（1，5）B（4，0），D（3，0）．
設(shè)過(guò)E、D、B三點(diǎn)的拋物線解析式為y="ax2+bx+c" ，則有
,解得：；
∴拋物線解析式為；
（2）（2）∠ECB的大小不變。
連接CE。易得Rt△ACE≌Rt△OBC（SAS）
∴CE=CB，∠ACE=∠OBC，∠AEC=∠OCB．
又∠ACE+∠AEC=90°，
∴∠ACE+∠OCB=90°
，∴∠ECB=90°．
（3）由（2）知，CE=CB，∠ECB=90°，
∴△ECB是等腰直角三角形．
∴∠EBC=45°，
又AEDB，
∴四邊形ADBE是平行四邊形．
∴AB∥EB．
∴∠APC=∠EBC=45°．
（4）當(dāng)t＞5時(shí)，∠APC＞45°，理由如下：
如圖，在第二象限取點(diǎn)F，作AFBD，連接CF、BF．

易得Rt△ACF≌Rt△OBC（SAS）
∴CF=CB，∠1=∠2．
又∠1+∠3=90°�！唷�2+∠3=90°即△BCF是等腰直角三角形．
∴∠CBF=45°，又∠APC＞∠CBF，
∴∠APC＞45°．