Question

已知，O為正方形ABCD對(duì)角線上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA的長為半徑的⊙O與BC相切于M，與AB、AD分別相交于E、F．
（1）求證：CD與⊙O相切；
（2）若⊙O的半徑為

2

，求正方形ABCD的邊長．
（3）在（2）的條件下求AE、優(yōu)弧EMF和AF圍成的圖形的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）連接OM，過O作ON于CD垂直，由BC與圓O相切，根據(jù)切線性質(zhì)得到OM與BC，又正方形ABCD，AC為角平分線，根據(jù)角平分線定理得到OM=ON，故CD與圓O相切；
（2）根據(jù)垂直于同一條直線的兩直線平行得到OM與AB平行，得到兩對(duì)同位角相等，從而得到△ABC∽△OMC，設(shè)正方形的邊長為a，由圓O的半徑，列出比例式得到關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值即為正方形的邊長；
（3）首先求出AE=AF，進(jìn)而求出△AEF的面積，進(jìn)而得出AE、優(yōu)弧EMF和AF圍成的圖形的面積．

解答：（1）證明：連接OM，過點(diǎn)O作ON⊥CD，垂足為N．
∵⊙O與BC相切于M，∴OM⊥BC．
∵正方形ABCD中，AC平分∠BCD，∴OM=ON．
∴CD與⊙O相切；

（2）解：設(shè)正方形ABCD的邊長為a．
顯然OM∥AB，
∴∠OMC=∠B，∠MOC=∠BAC，
∴△COM∽△CAB，
∴

OM

AB

=

CO

CA

，即

2

a

=

2 a- 2

2 a

解得a=

2

+1，
故正方形ABCD的邊長為

2

+1；

（3）解：連接EF，則EF是⊙O的直徑，
∵AC是正方形ABCD的對(duì)角線，
∴∠DAC=45°，
∵AO=FO，
∴∠AFO=45°，
∴∠AOF=90°，
則AE=AF，
∵EF=2

2

，
∴AE=AF=2，
∴S_△AEF=

1

2

×2×2=2，
故AE、優(yōu)弧EMF和AF圍成的圖形的面積為：2+

1

2

π（

2

）²=π+2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)與判斷，正方形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)與判斷．其中切線的證明方法有兩種：①已知點(diǎn)，連接此點(diǎn)與圓心，證明夾角為直角；②未知點(diǎn)，作垂線，證明垂線段等于半徑．