【題目】已知菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,點(diǎn)P是直線AB上任意一點(diǎn),連接PC,在∠PCD內(nèi)部作射線CQ與對角線BD交于點(diǎn)Q(與B、D不重合),且∠PCQ=30°.
(1)如圖,當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上,且BP=3時,求PC的長;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在射線BA上,且BP=n(0≤n<8)時,求QC的長;(用含n的式子表示)
(3)連接PQ,直線PQ與直線BC相交于點(diǎn)E,如果△QCE與△BCP相似,請直接寫出線段BP的長.
【答案】(1);(2)QC=(0≤n<8);(3)BP的值為2+2或2﹣2.
【解析】
(1)如圖1中,作PH⊥BC于H.解直角三角形求出BH,PH,在Rt△PCH中,由勾股定理即可得出答案.
(2)如圖1中,作PH⊥BC于H,連接PQ,設(shè)PC交BD于O.證明△POQ∽△BOC,推出∠OPQ=∠OBC=30°=∠PCQ,推出PQ=CQ,推出PC=CQ,在Rt△PHB中,BH=n,PH=n,根據(jù)PC2=PH2+CH2,可得結(jié)論.
(3)分三種情形:①如圖2中,若直線QP交直線BC于B點(diǎn)左側(cè)的點(diǎn)E.②如圖3中,若直線QP交直線BC于C點(diǎn)右側(cè)的點(diǎn)E.③如圖4中,當(dāng)點(diǎn)P在AB的延長線上時,由相似三角形的性質(zhì)分別求解即可.
解:(1)如圖1中,作PH⊥BC于H.
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AB=BC=4,AD∥BC,
∴∠A+∠ABC=180°,
∵∠A=120°,
∴∠PBH=60°,
∵PB=3,∠PHB=90°,
∴BH=PBcos60°=,PH=PBsin60°=,
∴CH=BC﹣BH=4﹣=,
∴PC═==.
(2)如圖1中,作PH⊥BC于H,連接PQ,設(shè)PC交BD于O.
∵四邊形ABCD是菱形,
∴∠ABD=CBD=30°,
∵∠PCQ=30°,
∴∠PBO=∠QCO,
∵∠POB=∠QOC,
∴△POB∽△QOC,
∴,
∴,
∵∠POQ=∠BOC,
∴△POQ∽△BOC,
∴∠OPQ=∠OBC=30°=∠PCQ,
∴PQ=QC,
∴PC=QC,
在Rt△PHB中,BP=n,
∴BH=n,PH=n,
∵PC2=PH2+CH2,
∴3QC2=(n)2+(4﹣n)2,
∴QC=(0≤n<8).
(3)①如圖2中,若直線QP交直線BC于B點(diǎn)左側(cè)的點(diǎn)E.
此時∠CQE=120°,
∵∠PBC=60°,
∴△PBC中,不存在角與∠CQE相等,
此時△QCE與△BCP不可能相似.
②如圖3中,若直線QP交直線BC于點(diǎn)C右側(cè)的點(diǎn)E.
則∠CQE=∠B=QBC+∠QCP=60°=∠CBP,
∵∠PCB>∠E,
∴只可能∠BCP=∠QCE=75°,
作CF⊥AB于F,則BF=2,CF=2,∠PCF=45°,
∴PF=CF=2,
此時BP=2+2,
③如圖4中,當(dāng)點(diǎn)P在AB的延長線上時,
∵△CBE與△CBP相似,
∴∠CQE=∠CBP=120°,
∴∠QCE=∠CBP=15°,
作CF⊥AB于F.
∵∠FCB=30°,
∴∠FCB=45°,
∴BF=BC=2,CF=PF=2,
∴BP=2﹣2.
綜上所述,滿足條件的BP的值為2+2或2﹣2.
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在圖中,請判斷與是否相似,并說明理由;
在圖中,以O為位似中心,再畫一個格點(diǎn)三角形,使它與的位似比為2:1
在圖中,請畫出所有滿足條件的格點(diǎn)三角形,它與相似,且有一條公共邊和一個公共角.
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(2)點(diǎn)為軸上任意一動點(diǎn),連接交于點(diǎn),連接:
①當(dāng)時,求所有點(diǎn)的坐標(biāo) (直接寫出);
②求的最大值.
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(2)把△ADE繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖②的位置,連接CD,點(diǎn)M、P、N分別為DE、DC、BC的中點(diǎn),連接MN、PN、PM,判斷△PMN的形狀,并說明理由;
(3)在(2)中,把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),若AD=4,AB=6,請分別求出△PMN周長的最小值與最大值.
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