Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)的圖象交軸于點和點，交軸于點．

求這個二次函數(shù)的表達式；

若點在第二象限內的拋物線上，求面積的最大值和此時點的坐標；

在平面直角坐標系內，是否存在點，使，，，四點構成平行四邊形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點，8；（3）足條件的點的坐標為或或．

【解析】

（1）由A、C兩點坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

（2）由A、B關于對稱軸對稱，則可知PA=PB，則當P、B、C三點在一條線上時滿足|PA-PC|最大，利用待定系數(shù)法可求得直線BC解析式，則可求得P點坐標；

（3）分AB為邊和AB為對稱線兩種情況，當AB為邊時，利用平行四邊形的性質可得到CQ=AB，可得到關于D點的方程，可求得D點坐標，當AB為對角線時，則AB的中點也為CQ的中點，則可求得Q點坐標．

解：∵二次函數(shù)的圖象交軸于點和點，交軸于點．

∴，

∴，

∴二次函數(shù)的表達式為，

如圖，

由有，二次函數(shù)的表達式為，

令，得，或，

∴

連接，，，

∴點是直線平移之后和拋物線只有一個交點時，最大，

∵，，

∴直線解析式為，

設直線平移后的直線解析式為，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴點，

過點作軸

∴，，

∵，

∴，，

∴，

∴．

存在點，使，，，四點構成平行四邊形，

理由：①以為邊時，，

過點作平行于的直線，

∵，

∴直線解析式為，

∴點在直線上，

設，

∴

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴或，

②以為對角線時，必過線段中點，且被平分，即：的中點也是的中點，

∵，，

∴線段中點坐標為，

∵，

∴直線解析式為，

設點，

∴，

∴（舍）或，

∴，

即：滿足條件的點的坐標為或或．