Question

【題目】如圖，△ACB中，∠ACB=90°，在AB的同側分別作正△ACD、正△ABE和正△BCF. 若四邊形CDEF的周長是24，面積是17，則AB的長是_______.

Answer 1

【答案】2

【解析】

依據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得到DE=CB=CF，EF=AC=DC，進而得出四邊形CDEF是平行四邊形，再根據(jù)∠CFG=30°，即可得到CG=CF，進而根據(jù)四邊形CDEF的周長和面積，得到AC與BC的和與積，再利用勾股定理及完全平方公式的變形即可解答．

如圖，過C作CG⊥EF于G，設BC=a，AC=b，
∵△ACD，△ABE，△BCF都是等邊三角形，
∴AD=AC，AE=AB，∠DAC=∠EAB=60°，
∴∠DAE=∠CAB，
∴△ADE≌△ACB，
∴DE=CB=CF=a，
同理可得，EF=AC=DC=b，
∴四邊形CDEF是平行四邊形，
∵∠ACD=∠BCF=60°，∠ACB=90°，
∴∠DCF=150°，
∴∠CFG=30°，

∴CG= CF

∵四邊形CDEF的周長是24，面積是17，

∴a+b=12,ab=34

∵∠ACB=90°

∴AB2=

∴AB=2