Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，8），點(diǎn) B（b，t）在直線x=b上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D、E、F分別為OB、0A、AB的中點(diǎn)，其中b是大于零的常數(shù)．

（1）判斷四邊形DEFB的形狀．并證明你的結(jié)論；

（2）試求四邊形DEFB的面積S與b的關(guān)系式；

（3）設(shè)直線x=b與x軸交于點(diǎn)C，問：四邊形DEFB能不能是矩形？若能．求出t的值；若不能，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）四邊形DEFB是平行四邊形．

證明：∵D、E分別是OB、OA的中點(diǎn)，

∴DE∥AB，同理，EF∥OB，

∴四邊形DEFB是平行四邊形；

、

（2）解法一：∵S_△AOB= ×8×b=4b，

由（1）得EF∥OB，∴△AEF∽△AOB，

∴ =（ ）²，即S_△AEF= S_△AOB=b，同理S_△ODE=b，

∴S=S_△AOB-S_△AEF-S_△ODE=4b-b-b=2b，即S=2b（b＞0）；

解法二：如圖，連接BE，

S_△AOB= ×8×b=4b，

∵E、F分別為OA、AB的中點(diǎn)，

∴S_△AEF= S_△AEB= S_△AOB=b，

同理S_△EOD=b，

∴S=S_△AOB-S_△AEF-S_△ODE=4b-b-b=2b，

即S=2b（b＞0）；

（3）解法一：以E為圓心，OA長(zhǎng)為直徑的圓記為⊙E，

①當(dāng)直線x=b與⊙E相切或相交時(shí)，若點(diǎn)B是切點(diǎn)或交點(diǎn)，則∠ABO=90°，由（1）知，四邊形DEFB是矩形，

此時(shí)0＜b≤4，可得△AOB∽△OBC，

∴ = ，即OB²=OA•BC=8t，

在Rt△OBC中，OB²=BC²+OC²=t²+b²，

∴t²+b²=8t，

∴t²-8t+b²=0，

解得t=4± ，

②當(dāng)直線x=b與⊙E相離時(shí)，∠ABO≠90°，

∴四邊形DEFB不是矩形，

綜上所述：當(dāng)0＜b≤4時(shí)，四邊形DEFB是矩形，這時(shí)，t=4± ，當(dāng)b＞4時(shí)，四邊形DEFB不是矩形；

解法二：由（1）知，當(dāng)∠ABO=90°時(shí)，四邊形DEFB是矩形，

此時(shí)，Rt△OCB∽R(shí)t△ABO，

∴ = ，即OB²=OA•BC，

又OB²=BC²+OC²=t²+b²，OA=8，BC=t（t＞0），

∴t²+b²=8t，

∴（t-4）²=16-b²，

①當(dāng)16-b²≥0時(shí)，解得t=4± ，此時(shí)四邊形DEFB是矩形，

②當(dāng)16-b²＜0時(shí)，t無實(shí)數(shù)解，此時(shí)四邊形DEFB不是矩形，

綜上所述：當(dāng)16-b²≥0時(shí)，四邊形DEFB是矩形，此時(shí)t=4± ，當(dāng)16-b²＜0時(shí)，四邊形DEFB不是矩形；

解法三：如圖，過點(diǎn)A作AM⊥BC，垂足為M，

在Rt△AMB中，AB²=AM²+BM²=b²+（8-t）²，

在Rt△OCB中，OB²=OC²+BC²=b²+t²，

在Rt△OAB中，當(dāng)AB²+OB²=OA²時(shí)，∠ABO=90°，則四邊形DEFB為矩形，

∴b²+（8-t）²+b²+t²=8²，

化簡(jiǎn)得t²-8t=-b²，配方得（t-4）²=16-b²，其余同解法二．

【解析】略