Question

如圖，直線y=2x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，把△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△OCD．
（1）求經(jīng)過A、B、D三點的拋物線的解析式；
（2）在所求的拋物線上是否存在一點P，使直線CP把△OCD分成面積相等的兩部分？如果存在，求出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直線AB的解析式，可求得點A、B的坐標(biāo)，進而可得到OA、OB的長，由于△OCD是由△OAB旋轉(zhuǎn)而得，即可得到OC、OD的長，也就能求出C、D兩點的坐標(biāo)，然后可利用A、B、D三點的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法求得拋物線的解析式．
（2）若直線CP將△OCD分成面積相等的兩部分，那么直線CP必經(jīng)過線段OD的中點，可據(jù)此求得直線CP的解析式，然后聯(lián)立拋物線的解析式，即可得到點P的坐標(biāo)．
解答：解：（1）在y=2x+4中，分別令y=0和x=0來得到：A（-2，0）、B（0，4）、
D點是因為旋轉(zhuǎn)，OD=OB，所以，D點（4，0）；
C點也是因為旋轉(zhuǎn)，OA=OC，所以，C點（0，2）；
設(shè)經(jīng)過A、B、D的拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
則有：4a-2b+c=0①，c=4②，16a+4b+c=0③（3分）
解①②③得：，b=1，c=4，
∴拋物線的解析式為：．（4分）

（2）若存在點P滿足條件，則直線CP必經(jīng)過OD的中點E（2，0）；（5分）
易知經(jīng)過C、E的直線為y=-x+2，（6分）
于是可設(shè)點P的坐標(biāo)為P（m，-m+2）；
將P（m，-m+2）代入
得：，（7分）
整理，得：m²-4m-4=0，
解得：，；
所以滿足條件的點P有兩個：P₁（2+2，-2），．（9分）
點評：此題主要考查了圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定、三角形面積的計算方法以及函數(shù)圖象交點坐標(biāo)的求法等基礎(chǔ)知識，難度適中．