Question

如圖，在半徑為5的⊙O中，點(diǎn)A、B在⊙O中，∠AOB=90°，點(diǎn)C是

AB

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AC與OB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D，設(shè)AC=x，BD=y．
（1）當(dāng)x=2時(shí)，求y的值；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（3）如果⊙O₁與⊙O相交于點(diǎn)A、C，且⊙O₁與⊙O的圓心距為2，當(dāng)BD=

1

3

OB時(shí)，求⊙O₁的半徑；
（4）是否存在點(diǎn)C，使得CD²=DB•DO成立，如果存在，請(qǐng)證明；如果不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）過(guò)⊙O的圓心作OE⊥AC，垂足為E．通過(guò)證明△ODE∽△AOE求得

OD

OE

=

AO

AE

，然后將相關(guān)線段的長(zhǎng)度代入求得y的值；
（2）過(guò)⊙O的圓心作OE⊥AC，垂足為E．通過(guò)證明△ODE∽△AOE求得

OD

OE

=

AO

AE

，然后將相關(guān)線段的長(zhǎng)度代入求得y關(guān)于x的函數(shù)解析式，再由函數(shù)的性質(zhì)求其定義域；
（3）當(dāng)BD=

1

3

OB時(shí)，根據(jù)（1）的函數(shù)關(guān)系式求得y=

5

3

，x=6．分兩種情況來(lái)解答O₁A的值①當(dāng)點(diǎn)O₁在線段OE上時(shí)，O₁E=OE-OO₁=2；②當(dāng)點(diǎn)O₁在線段EO的延長(zhǎng)線上時(shí)，O₁E=OE+OO₁=6，進(jìn)而求出即可；
（4）當(dāng)點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)時(shí)，∠BOC=∠AOC=

1

2

∠AOB=45°，∠OCA=∠OCB=

180°-45°

2

=67.5°，然后由三角形的內(nèi)角和定理求得∠DCB=45°，由等量代換求得∠DCB=∠BOC．根據(jù)相似三角形的判定定理AA證明△DCB∽△DOC．

解答：（1）解：如圖1，過(guò)⊙O的圓心作OE⊥AC，垂足為E，
∴AE=

1

2

AC=1，OE=

AO2-AE2

=2

6

．
∵∠DEO=∠AOB=90°，∴∠D=90°-∠EOD=∠AOE，
∴△ODE∽△AOE．
∴

OD

OE

=

AO

AE

，
∵OD=y+5，
∴

y+5

2 6

=

5

1

，
解得：y=10

6

-5；

（2）解：如圖1，過(guò)⊙O的圓心作OE⊥AC，垂足為E，
∴AE=

1

2

AC=

1

2

x，OE=

AO2-AE2

=

25- 1 4 x2

．
∵∠DEO=∠AOB=90°，
∴∠D=90°-∠EOD=∠AOE，
∴△ODE∽△AOE．
∴

OD

OE

=

AO

AE

，
∵OD=y+5，
∴

y+5

25- 1 4 x2

=

5

x 2

．
∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為：
y=

5 100-x2 -5x

x

，定義域?yàn)椋?＜x＜5

2

．

（3）解：如圖2，當(dāng)BD=

1

3

OB時(shí)，
則y=

5

3

，
即

5

3

=

5 100-x2 -5x

x

，
∴解得：x=6．
∴AE=

1

2

x=3，OE=

52-32

=4．
當(dāng)點(diǎn)O₁在線段OE上時(shí)，
O₁E=OE-OO₁=2，
O₁A=

O1E2+AE2

=

22+32

=

13

．
當(dāng)點(diǎn)O₁在線段EO的延長(zhǎng)線上時(shí)，O₁E=OE+OO₁=6，
O₁A=

O1E2+AE2

=

62+32

=

5

．
∴⊙O₁的半徑為

13

或3

5

．

（4）存在，當(dāng)點(diǎn)C為

AB

的中點(diǎn)時(shí)，△DCB∽△DOC．
證明：∵當(dāng)點(diǎn)C為

AB

的中點(diǎn)時(shí)，∠BOC=∠AOC=

1

2

∠AOB=45°，
又∵OA=OC=OB，
∴∠OCA=∠OCB=

180°-45°

2

=67.5°，
∴∠DCB=180°-∠OCA-∠OCB=45°．
∴∠DCB=∠BOC．
又∵∠D=∠D，
∴△DCB∽△DOC．
∴存在點(diǎn)C，使得△DCB∽△DOC．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓與圓的位置關(guān)系、勾股定理．此題很復(fù)雜，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線OE⊥AC，利用相似三角形的判定定理及性質(zhì)解答，解答（3）時(shí)注意分兩種情況討論，不要漏解．