Question

【題目】如圖，在三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，將△ABC折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上點(diǎn)D （不與點(diǎn)A重合）處，折痕為PQ，當(dāng)重疊部分△PQD為等腰三角形時(shí)，則AD的長為_____．

Answer 1

【答案】2或2﹣2．

【解析】

分①PD=DQ；②DQ=PQ；③PD=PQ三種情況結(jié)合已知條件分析解答即可.

若△PDQ為等腰三角形，則存在以下三種情況：

（1）當(dāng)PD=DQ時(shí)，

由折疊的性質(zhì)可知，PD=PB，DQ=BQ，

∴PD=PB=BQ=DQ，

∴四邊形BQDP是菱形，

∴PD∥BC，BP∥DQ，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴△APD和△CDQ都是等腰直角三角形，

設(shè)AD=x，則AP=x，PD=PB=2-x，

在Rt△APD中，由勾股定理可得：，

解得：（不合題意，舍去），

∴此時(shí)AD=；

（2）DQ=PQ時(shí)，

由折疊的性質(zhì)可知：BQ=DQ=PQ，

又∵在△ABC中，∠B=45°，
∴∠BPQ=∠B=45°，
∴∠PQB=90°，

∴PQ⊥BC，

∵將點(diǎn)B沿PQ折疊后點(diǎn)B落在AC上，

∴點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，

∴x=AD=AC=2；

（3）當(dāng)PD=PQ時(shí)，