Question

8．如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為M．D在y軸上，OB=OD=3，OA=5．
（1）試用含a的式子表示點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）若S_△ABC-S_△ACM=$\frac{50}{3}$；
①求拋物線y=ax²+bx+c的解析式；
②如圖2，將△BOD繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)α（0°＜α≤180°）得到△B′OD′，直線AD與BC相交于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q縱坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由線段長(zhǎng)度，確定點(diǎn)A，B坐標(biāo)代入y=ax²+bx+c即可用a表示拋物線，運(yùn)用頂點(diǎn)公式即可求出點(diǎn)M坐標(biāo)；
（2）①用a表示△ABC與△ACM的面積，根據(jù)題意列方程求解即可；
②根據(jù)題意分析出：以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑作圓，當(dāng)AD與圓O在第二象限內(nèi)相切時(shí)，Q的縱坐標(biāo)最大，當(dāng)AD與圓O在第三象限內(nèi)相切時(shí)，Q的縱坐標(biāo)最小，
分別求解即可，求解時(shí)，先確定切點(diǎn)坐標(biāo)，求出兩條直線解析式，聯(lián)立直線解方程組求出y的值即可．

解答 解：（1）由OB=OD=3，OA=5可得，
點(diǎn)A（-5，0），B（3，0），D（0，5），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-3）×（x+5），
整理得：y=ax²+2ax-15a，
所以頂點(diǎn)M（-1，-16a）；
（2）如圖1

過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸，垂足為N，交直線AC于點(diǎn)H，
y=ax²+2ax-15a，令x=0，解得：y=-15a，
所以：C（0，-15a）
設(shè)直線AC解析式為：y=mx+n，
由A（-5，0），C（0，-15a），坐標(biāo)可得，$\left\{\begin{array}{l}{0=-5m+n}\\{n=-15a}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-3a}\\{n=-15a}\end{array}\right.$，
所以直線AC：y=-3ax-15a，
由M（-1，-16a），可得，
點(diǎn)H（-1，-12a），
所以MH=-16a-（-12a）=-4a，
所以：S_△ACM=$\frac{1}{2}×MH×（{x}_{C}-{x}_{A}）$=$\frac{1}{2}×（-4a）×5$=-10a，
S_△ABC=$\frac{1}{2}×AB×OC$=-60a，
由S_△ABC-S_△ACM=$\frac{50}{3}$，
解得：a=-$\frac{1}{3}$，
所以：拋物線的解析式為：y=$-\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{2}{3}x+5$；
②如圖2

以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑作圓，當(dāng)AD與圓O在第二象限內(nèi)相切時(shí)，Q的縱坐標(biāo)最大，
此時(shí)，易求點(diǎn)D′的坐標(biāo)為（-$\frac{9}{5}，\frac{12}{5}$），點(diǎn)A（-5，0）；點(diǎn)B′（$\frac{12}{5}，\frac{9}{5}$），
用兩點(diǎn)法可求直線AD′解析式為：y=$\frac{3}{4}x+\frac{15}{4}$，
直線B′C的解析式為：$y=-\frac{4}{3}x+5$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x+\frac{15}{4}}\\{y=-\frac{4}{3}x+5}\end{array}\right.$，
解得y=$\frac{21}{5}$，
如圖3

以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑作圓，當(dāng)AD與圓O在第三象限內(nèi)相切時(shí)，Q的縱坐標(biāo)最小，
此時(shí)易求點(diǎn)D′（$-\frac{9}{5}$，$-\frac{12}{5}$），點(diǎn)A（-5，0）；點(diǎn)B′（-$\frac{12}{5}，\frac{9}{5}$），
用兩點(diǎn)法可求直線AD′解析式為：$y=-\frac{3}{4}x-\frac{15}{4}$，
直線B′C的解析式為：$y=\frac{4}{3}x+5$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x-\frac{15}{4}}\\{y=\frac{4}{3}x+5}\end{array}\right.$，
解得：y=$-\frac{3}{5}$．
所以：點(diǎn)Q縱坐標(biāo)的取值范圍為：$-\frac{3}{5}$≤y≤$\frac{21}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，會(huì)用已知點(diǎn)求解析式，會(huì)根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)表示三角形面積，會(huì)運(yùn)用圓的知識(shí)分析解決旋轉(zhuǎn)的相關(guān)問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．