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【題目】正方形中,M為邊CB延長線上一點,過點A作直線AM,設∠BAM,點B關于直線AM的對稱點為點E,連接AE、DE,DEAM于點N

1)依題意補全圖形;當α=30°時, 直接寫出∠AND的度數;

2)當α發(fā)生變化時,∠AND的度數是否發(fā)生變化?說明理由;

3)探究線段AN,EN,DN的數量關系,并證明.

【答案】1)∠AND=45 ° ;2)∠AND的度數不發(fā)生變化,理由見解析;(3DN=.理由見解析.

【解析】

1)依題意補全圖形,由正方形的性質得出∠BAD90°ABAD,由軸對稱的性質得出AEAB,∠BAM=∠EAMα30°,得出∠EAD150°AEABAD,由等腰三角形的性質得出∠AED=∠ADE15°,即可得出結果;

2)求出∠EAD90°.由等腰三角形的性質得出∠AED=∠ADE45°α.即可得出結果;

3)過點 AAGAM,交DE 于點G,連接BN,由軸對稱的性質得出ABAE,∠BAN=∠EAN,證明ABN≌△AEN得出BNEN,∠AED=∠ABN,證出∠ABN=∠ADE,得出∠BAN=∠DAG,證明ABN≌△ADG得出BNDGANAG,得出ANG 為等腰直角三角形,ENBNDG,即可得出結論.

解:(1)依題意補全圖形,如圖1所示:

∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠BAD90°,ABAD

∵點B關于直線AM的對稱點為點E,

AEAB,∠BAM=∠EAMα30°

∴∠EAD90°30°30°150°,AEABAD,

∴∠AED=∠ADE180°150°)=15°,

∴∠AND=∠EAN+∠AED30°15°45°;

2)∠AND的度數不發(fā)生變化;

理由如下:

∵∠BAM=∠EAMα

∴∠EAD90°

AEABAD,

∴∠AED=∠ADE45°α

∴∠AND=∠EAN+∠AED45°αα45°

3DNANEN,

理由如下:

過點 AAGAM,交DE 于點G,連接BN,如圖2所示:

∵點B E關于直線AM對稱,

ABAE,∠BAN=∠EAN,

ABNAEN中,,

∴△ABN≌△AENSAS),

BNEN,∠AED=∠ABN

∵∠AED=∠ADE

∴∠ABN=∠ADE,

∵∠BAD=∠GAN90°

∴∠BAN=∠DAG,

ABNADG中,,

∴△ABN≌△ADGASA),

BNDGANAG,

∴△ANG 為等腰直角三角形,ENBNDG,

NGAN,

DNANEN

練習冊系列答案
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