Question

如圖1，將一個(gè)放有一定量的水的圓柱型容器向一個(gè)放有實(shí)心小圓柱體的燒杯內(nèi)注水，燒杯內(nèi)及圓柱型容器內(nèi)水面的高度h與注水時(shí)間t之間的函數(shù)圖象如圖2所示，已知燒杯的底面積為40cm²，實(shí)心小圓柱體底面積為10cm²，
（1）燒杯內(nèi)水面的高度h₁與注水時(shí)間t之間的函數(shù)圖象為_(kāi)_____，圓柱型容器內(nèi)水面的高度h₂與注水時(shí)間t之間的函數(shù)圖象為_(kāi)_____ （填折線OAB或線段CD）
（2）求圖中實(shí)心小圓柱體的高度和圓柱型容器的底面積．
（3）t為何值時(shí)，燒杯內(nèi)及圓柱型容器內(nèi)水面的高度相同？
（4）請(qǐng)直接寫(xiě)出t為何值時(shí)，燒杯內(nèi)及圓柱型容器內(nèi)水的質(zhì)量相同？

Answer 1

【答案】分析：（1）由于是將圓柱型容器里面的水向燒杯內(nèi)注水，所以燒杯內(nèi)的水面逐漸上升，即水面的高度h₁隨注水時(shí)間t的增大而增大，又因?yàn)闊�杯底部放有一個(gè)實(shí)心小圓柱體，所以水面上升的高度先快后慢；圓柱型容器內(nèi)的水面逐漸下降，即水面的高度h₂隨注水時(shí)間t的增大而減小，由此得出燒杯內(nèi)水面的高度h₁與注水時(shí)間t之間的函數(shù)圖象為折線OAB，圓柱型容器內(nèi)水面的高度h₂與注水時(shí)間t之間的函數(shù)圖象為線段CD；
（2）設(shè)圖中實(shí)心小圓柱體的高為xcm，由圖2可知，當(dāng)時(shí)間t=5min時(shí)，燒杯內(nèi)水面的高度為xcm；所以當(dāng)時(shí)間0＜t≤5min時(shí)，燒杯內(nèi)的水面每分鐘上升cm，此時(shí)燒杯內(nèi)裝水的底面積為40-10=30cm²；當(dāng)時(shí)間5＜t≤15min時(shí)，燒杯內(nèi)的水面每分鐘上升cm，此時(shí)燒杯內(nèi)裝水的底面積為40cm²；由于勻速注水，所以水面上升的高度與底面積成反比，得出：=40：30，解方程求出x的值．再設(shè)圓柱型容器的底面積為ycm²，根據(jù)圓柱型容器內(nèi)減少的水的體積=燒杯內(nèi)增加的水的體積，列出關(guān)于y的方程，解方程即可；
（3）先利用待定系數(shù)法分別求出AB與CD的函數(shù)解析式，再令h₁=h₂，得到關(guān)于t的方程，解方程即可；
（4）由圖2可知，15min可將圓柱型容器內(nèi)的水全部注入燒杯，由于注水速度均勻，所以當(dāng)t=min時(shí)，圓柱型容器內(nèi)的水有一半注入燒杯，即此時(shí)燒杯內(nèi)及圓柱型容器內(nèi)水的質(zhì)量相同．
解答：解：（1）由題意可知，燒杯內(nèi)水面的高度h₁與注水時(shí)間t之間的函數(shù)圖象為折線OAB，圓柱型容器內(nèi)水面的高度h₂與注水時(shí)間t之間的函數(shù)圖象為線段CD；
故答案為：折線OAB，線段CD；

（2）設(shè)圖中實(shí)心小圓柱體的高為xcm，由題意，得
：=40：30，
解得x=6．
設(shè)圓柱型容器的底面積為ycm²，由題意，得
20y=30×6+40×（15-6），
解得y=27．
故圖中實(shí)心小圓柱體的高度為6cm，圓柱型容器的底面積為27cm²；

（3）設(shè)AB的解析式為h₁=kt+b，
∵A（5，6），B（15，15）在此直線上，
∴，
解得，
∴AB的解析式為h₁=t+．
設(shè)CD的解析式為h₂=mt+n，
∵C（15，0），D（0，20）在此直線上，
∴，
解得，
∴CD的解析式為h₂=-t+20．
由h₁=h₂，得t+=-t+20，
解得t=．
故當(dāng)t為時(shí)，燒杯內(nèi)及圓柱型容器內(nèi)水面的高度相同；

（4）當(dāng)t=min時(shí)，燒杯內(nèi)及圓柱型容器內(nèi)水的質(zhì)量相同．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用以及利用圖象獲取正確信息，識(shí)別函數(shù)圖象的能力，觀察圖象提供的信息，再分析高度、時(shí)間和容積的關(guān)系即可找到解題關(guān)鍵．利用已知圖象得出正確信息是考查重點(diǎn)．