Question

18．如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，CE⊥AD，交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F為AC上一點(diǎn)，且CF=BE，BF與CE交于點(diǎn)P，下列結(jié)論：
①AC=AE；②CD=BE；③DP⊥BF；④2∠BDP=135°．
其中正確的是（　�。�

• A． ①③④
• B． ②③
• C． ①④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 ①正確．只要證明∠ACE=∠AEC=67.5°即可．
②正確．只要證明△ADC≌△ADE，推出CD=DE，再證明DE=BE即可．
③正確．只要證明DB=DF，BP=PF即可．
④正確．只要證明△BCF≌△ACD，推出∠CBF=22.5°=∠DFB，由此即可解決問題．

解答 解：如圖，連接DE，設(shè)AD與CE交于點(diǎn)H．作BN∥CA交CE的延長線于N．
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠EAD=22.5°，
∵∠AHC=∠AHE=90°，
∴∠ACH=∠AEH=67.5°，
∴AC=AE，故①正確，
∵AC=AE，AH⊥CE，
∴CH=HE，
∴DE=DC，
在△ADC和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DC=DE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$
∴△ADC≌△ADE，
∴∠AED=∠ACD=90°，
∴∠EBD=∠EDB=45°，
∴BE=DE，
∴CD=BE，故②正確，
∵BD=$\sqrt{2}$BE，DF=$\sqrt{2}$DC，
∴BD=DF，
∵BN∥CF，
∴∠BNE=∠NCF-67.5°，
∴∠BEN=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠BNE=∠BEN，
∴BE=BN=CF，
∴四邊形BCFN是平行四邊形，
∴BP=PF，∵DB=DF，
∴DP⊥BF，故③正確．
在△BCF和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCF=∠ACD}\\{CF=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△ACD，
∴∠CBF=∠CAD=22.5°，
∴∠DFB=∠DBF=22.5°，
∴2∠BDP=∠BDF=180°-22.5°-22.5°=135°，故④正確．
∴①②③④正確，
故選D．

點(diǎn)評 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．