Question

如圖，MN為一段河流，A、B兩村莊在以MN為直徑的圓上，兩村準備合資在河邊P修一泵站（點P為動點）向兩村輸水．小明得到如下數(shù)據(jù)：⊙O的半徑為2千米，A是半圓上的一個三等分點，B是

AN

的中點，每千米水管為5000元，則兩村購買水管的錢至少是多少元？

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題,勾股定理,垂徑定理

專題：

分析：作點B關(guān)于MN的對稱點E，連接AE交MN于點P，和MN的交點P就是所求作的位置．根據(jù)題意先求出∠CAE，再根據(jù)勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值．

解答：解：作點B關(guān)于MN的對稱點E，連接AE交MN于點P
此時PA+PB最小，且等于AE．
作直徑AC，連接CE，OE，
又∵B是

AN

的中點，
∴

AB

=

BN

=

NE

=

1

2

AN

，
又∵A是半圓的三等份點，
∴∠AON=60°，∠NOE=

1

2

∠AON=30°，
∴∠AOE=90°，
∴∠CAE=45°，
又∵AC為圓的直徑，
∴∠AEC=90°，
∴∠C=∠CAE=45°，
∴CE=AE=

2

2

AC=2

2

（千米），
即AP+BP的最小值是2

2

千米．
∵2

2

×5000=10000

2

（元）；
∴兩村購買水管的錢至少是10000

2

元．

點評：本題考查了垂徑定理及勾股定理的知識，此題的難點是確定點P的位置：找點B關(guān)于MN的對稱點，再連接其中一點的對稱點和另一點，和AE于MN的交點P就是所求作的位置．再根據(jù)弧的度數(shù)和圓心角的度數(shù)求出∠CAE，根據(jù)勾股定理求出AE即可．