Question

半徑為1的O₁與半徑為3的O₂外切于P點，如圖所示，AB是兩圓的外公切線，切點分別為點A、B，求AB和

PA

，

PB

所圍成的陰影部分的面積．

Answer 1

考點：相切兩圓的性質,扇形面積的計算

專題：

分析：如圖，作輔助線；首先求出O₁O₂的長度，進而求出∠CO₂O₁度數(shù)、∠O₂O₁A度數(shù)，分別求出梯形、兩個扇形的面積問題即可解決．

解答：解：如圖，連接O₁A，O₂B，O₁O₂；
過點O₁作O₁C⊥O₂B，垂足為C；
∵AB是兩圓的外公切線，
∴O₁A⊥AB，O₂B⊥AB，
故四邊形ABCO₁是矩形，
∴BC=O₁A=1，O₂C=3-1=2；
∵⊙O₁與⊙O₂外切于P點，
∴O₁O₂=1+3=4，
∴

O1C

O1O2

=

2

4

=

1

2

，
∴∠O₂O₁C=30°，∠CO₂O₁=60°，∠O₂O₁A=120°；
∵cos30°=

O1C

O1O2

=

3

2

，
∴O1C=

3

2

×4=2

3

；
∴S梯形ABO2O1=

1

2

(1+3)×2

3

=4

3

；
又∵S扇形O2BP=

60π×32

360

=

3π

2

，
S扇形O1AP=

120π×12

360

=

π

3

，
∴S陰影=4

3

-

3π

2

-

π

3

=4

3

-

11π

6

．

點評：該題主要考查了相切兩圓的性質、梯形的性質、扇形的面積公式及其應用問題；解題的關鍵是作輔助線，靈活運用有關定理來分析、判斷、推理或解答．