Question

如圖（1），正方形ABCD的頂點(diǎn)B、C在雙曲線y=

k

x

上，另兩個頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，
（1）設(shè)OA=a，OD=b，①請直接寫出B、C的坐標(biāo)（用a、b表示）：B（

 

，

 

），C（

 

，

 

），
②求證：a=b（ ①中結(jié)論可直接用 ）；
（2）如圖（2），作正方形BFGH，且F在x軸上，H在雙曲線上，當(dāng)S_{正方形BFGH}=5時，求k；
（3）如圖（3），作矩形BFGH，且F在x軸上，H在雙曲線上，BH：BF=2：1，當(dāng)S_矩形BFGH=17時，
請直接寫出k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,矩形的性質(zhì),正方形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）①過點(diǎn)C作CP⊥y軸于點(diǎn)P，過點(diǎn)B作BQ⊥x軸于點(diǎn)Q，如圖（1），易證△CPD≌△DOA，△DOA≌△AQB，則有PC=OD=AQ=b，PD=OA=BQ=a，就可得到B、C的坐標(biāo)；②把B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=

k

x

，即可證到a=b；
（2）設(shè)過點(diǎn)B平行于x軸的直線與過點(diǎn)F平行于y軸的直線交于點(diǎn)M、與過點(diǎn)H平行于y軸的直線交于點(diǎn)N，如圖（2），則有MF=a，∠FMB=∠BNH=90°．易證△BMF≌△HNB，則有MF=NB=a，從而可得到x_H為3a，再根據(jù)B、H在雙曲線y=

k

x

上可求得y_H=

2a

3

，從而有NH=a-

2a

3

=

a

3

．由S_{正方形BFGH}=5可求得BH²=5．在Rt△BNH中根據(jù)勾股定理可求得a²=

9

2

，由此可求出k的值；
（3）設(shè)過點(diǎn)B平行于x軸的直線與過點(diǎn)F平行于y軸的直線交于點(diǎn)M、與過點(diǎn)H平行于y軸的直線交于點(diǎn)N，如圖（3），則有MF=a，∠FMB=∠BNH=90°．易證△BMF∽△HNB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得NB=2MF=2a，從而得到x_H為4a，再由B、H在雙曲線y=

k

x

上可得y_H=

a

2

，則有NH=a-

a

2

=

a

2

．由S_矩形BFGH=17可得BH²=34．在Rt△BNH中根據(jù)勾股定理可求得a²=8，由此可求出k的值．

解答：解：（1）①B（a+b，a）、Cb，a+b）．
解題思路：過點(diǎn)C作CP⊥y軸于點(diǎn)P，過點(diǎn)B作BQ⊥x軸于點(diǎn)Q，如圖（1），

易證△CPD≌△DOA，△DOA≌△AQB，則有PC=OD=AQ=b，PD=OA=BQ=a，
所以B（a+b，a）、Cb，a+b），
故答案為：a+b、a、b、a+b；
②證明：∵B、C在雙曲線y=

k

x

上，
∴k=a（a+b）=b（a+b）．
∵a+b≠0，
∴a=b；

（2）設(shè)過點(diǎn)B平行于x軸的直線與過點(diǎn)F平行于y軸的直線交于點(diǎn)M、與過點(diǎn)H平行于y軸的直線交于點(diǎn)N，如圖（2），

則有MF=a，∠FMB=∠BNH=90°．
∵四邊形BFGH是正方形，
∴BF=BH，∠FBH=90°，
∴∠MBF=180°-90°-∠NBH=90°-∠NBH=∠NHB．
在△BMF和△HNB中，

∠MBF=∠NHB ∠FMB=∠BNH BF=HB

，
∴△BMF≌△HNB（SAS），
∴MF=NB=a，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a+b，a）即（2a，a），
∴x_H=2a+a=3a，
∵B、H在雙曲線y=

k

x

上，
∴k=2a²=3a•y_H，
∴y_H=

2a

3

，
∴NH=a-

2a

3

=

a

3

．
∵S_{正方形BFGH}=5，
∴BH²=5．
在Rt△BNH中，
BH²=BN²+NH²=a²+（

a

3

）²=5．
∴a²=

9

2

，
∴k=2a²=9；

（3）k的值為16．
解題思路：設(shè)過點(diǎn)B平行于x軸的直線與過點(diǎn)F平行于y軸的直線交于點(diǎn)M、與過點(diǎn)H平行于y軸的直線交于點(diǎn)N，如圖（3），

則有MF=a，∠FMB=∠BNH=90°．
易證△BMF∽△HNB，
由MF=a，BH：BF=2：1可得NB=2MF=2a，
則x_H=2a+2a=4a，
由B、H在雙曲線y=

k

x

上可得y_H=

a

2

，
則有NH=a-

a

2

=

a

2

．
由S_矩形BFGH=17可得BH²=34．
在Rt△BNH中根據(jù)勾股定理可求得a²=8，
則k=2a²=16．

點(diǎn)評：本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識，構(gòu)造K型全等及K型相似是解決本題的關(guān)鍵．