Question

如圖，△ABC是等邊三角形，P是三角形外的一點(diǎn)，且∠ABP+∠ACP=180°．求證：PB+PC=PA．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：過點(diǎn)A作AM⊥BP，AN⊥PN，交PC的延長線于點(diǎn)N，可得∠AMB=∠ANC=90°，在AP上截取PE，使得PE=PB，連接BE，易證△ABM≌△ACN，可得AM=AN，即可求得∠APB=60°，進(jìn)而可以求證△ABE≌△CBP，可得AE=CP，即可解題．

解答：證明：過點(diǎn)A作AM⊥BP，AN⊥PN，交PC的延長線于點(diǎn)N，可得∠AMB=∠ANC=90°，在AP上截取PE，使得PE=PB，連接BE，

∵∠ACN+∠ACP=180°，且∠ABM+∠ACP=180°，
∴∠ACN=∠ABM，
又△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，
在△ABM和△ACN中，

∠AMB=∠ANC ∠ABM=∠ACN AB=AC

，
∴△ABM≌△ACN（AAS），
∴AM=AN，又AM⊥BP，AN⊥PN，
∴∠APB=∠APC，
∵∠ABP+∠ACP=180°，
∴∠BAC+∠BPC=180°，
∴∠BPC=120°，
∴∠APB=∠APC=60°，
∵PB=PE，
∴△PEB是等邊三角形
∴PB=BE，∠EBP=60°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∴∠EBP=∠ABC，
∴∠ABE=∠PBC，
在△ABE和△CBP中，

AC=BC ∠ABE=∠PBC BE=PB

，
∴△ABE≌△CBP，（SAS）
∴AE=CP，
∵AP=AE+PE，
∴AP=PB+PC．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△ABM≌△ACN和△ABE≌△CBP是解題的關(guān)鍵．