Question

已知，如圖，CD是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點(diǎn)為C，BC=，BF=，AE：EF=8：3
求：ED的長(zhǎng)．

Answer 1

解：連接CF，DF，AC，
∵BC是⊙O的切線，
∴∠BCD=90°，
即∠BCF+∠DCF=90°，
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠CFD=90°，
∴∠DCF+∠D=90°，
∴∠BCF=∠D，
∵∠A=∠D，
∴∠BCF=∠A，
∵∠B是公共角，
∴△BCF∽△BAC，
∴BF：BC=BC：AB，
∴AB===6，
∴AF=AB=BF=6-=，
∵AE：EF=8：3，
∴EF=×=，AE=-=4，
∴BE=EF+BF=2，
∴CE==1，
∵∠A=∠D，∠DEF=∠AEC，
∴△DEF∽△AEC，
∴ED：AE=EF：CE，
∴ED===6．
分析：首先連接CF，DF，AC，易證得△BCF∽△BAC，即可求得AB的長(zhǎng)，繼而求得AE與EF的長(zhǎng)，由勾股定理，可求得CE的長(zhǎng)，然后又由△DEF∽△AEC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得ED的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意解題的關(guān)鍵是掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．