Question

（2010•南通）已知拋物線y=ax²+bx+c經過A（-4，3）、B（2，0）兩點，當x=3和x=-3時，這條拋物線上對應點的縱坐標相等．經過點C（0，-2）的直線l與x軸平行，O為坐標原點．
（1）求直線AB和這條拋物線的解析式；
（2）以A為圓心，AO為半徑的圓記為⊙A，判斷直線l與⊙A的位置關系，并說明理由；
（3）設直線AB上的點D的橫坐標為-1，P（m，n）是拋物線y=ax²+bx+c上的動點，當△PDO的周長最小時，求四邊形CODP的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）用待定系數法即可求出直線AB的解析式；根據“當x=3和x=-3時，這條拋物線上對應點的縱坐標相等”可知：拋物線的對稱軸為y軸，然后用待定系數法即可求出拋物線的解析式；
（2）根據A點坐標可求出半徑OA的長，然后判斷A到直線l的距離與半徑OA的大小關系即可；
（3）根據直線AB的解析式可求出D點的坐標，即可得到OD的長，由于OD的長為定值，若△POD的周長最小，那么PD+OP的長最小，可過P作y軸的平行線，交直線l于M；首先證PO=PM，此時PD+OP=PD+PM，而PD+PM≥DM，因此PD+PM最小時，應有PD+PM=DM，即D、P、M三點共線，由此可求得P點的坐標；此時四邊形CODP是梯形，根據C、O、D、P四點坐標即可求得上下底DP、OC的長，而梯形的高為D點橫坐標的絕對值由此可求出四邊形CODP的面積．
解答：解：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，則有：
，
解得；
∴直線AB的解析式為y=-x+1；
由題意知：拋物線的對稱軸為y軸，則拋物線經過（-4，3），（2，0），（-2，0）三點；
設拋物線的解析式為：y=a（x-2）（x+2），
則有：3=a（-4-2）（-4+2），a=；
∴拋物線的解析式為：y=x²-1；

（2）易知：A（-4，3），則OA==5；
而A到直線l的距離為：3-（-2）=5；
所以⊙A的半徑等于圓心A到直線l的距離，
即直線l與⊙A相切；

（3）過D點作DM∥y軸交直線于點M交拋物線于點P，
則P（m，n），M（m，-2）；
∴PO²=m²+n²，PM²=（n+2）²；
∵n=m²-1，即m²=4n+4；
∴PO²=n²+4n+4=（n+2）²，
即PO²=PM²，PO=PM；
易知D（-1，），則OD的長為定值；
若△PDO的周長最小，則PO+PD的值最小；
∵PO+PD=PD+PM≥DM，
∴PD+PO的最小值為DM，
即當D、P、M三點共線時PD+PM=PO+PD=DM；
此時點P的橫坐標為-1，代入拋物線的解析式可得y=-1=-，
即P（-1，-）；
∴S_{四邊形CPDO}=（CO+PD）×|x_D|=×（2++）×1=．
點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、直線與圓的位置關系、圖形面積的求法等知識，還涉及到解析幾何中拋物線的相關知識，能力要求極高，難度很大．