Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD邊的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OC長為半徑作圓，交BC邊于點(diǎn)E．過E作EH⊥AB，垂足為H．已知⊙O與AB邊相切，切點(diǎn)為F．
（1）求證：OE∥AB；
（2）求證：EH=AB；
（3）若BH=1，EC=，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得出∠OEC=∠C，即可得出∠B=∠OEC，進(jìn)而得出答案；
（2）利用切線的性質(zhì)得出首先得出四邊形OEHF為平行四邊形，進(jìn)而得出EH=AB；
（3）根據(jù)相似三角形的判定得出△EHB∽△DEC，進(jìn)而得出，再利用勾股定理得出r的值即可得出答案．
解答：解：（1）證明：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．
∴AB=DC，∠B=∠C，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠C，
∴∠B=∠OEC，
∴OE∥AB；

（2）證明：連接OF，
∵⊙O與AB切于點(diǎn)F，
∴OF⊥AB，
∵EH⊥AB，
∴OF∥EH，
又∵OE∥AB，
∴四邊形OEHF為平行四邊形，
∴EH=OF，
連接DF、CF，
∵DC是⊙O直徑，
∴∠DFC=90°，
∵DO=OC
∴OF=CD=AB，
∴EH=AB；

（3）解：連接DE，設(shè)⊙O的半徑為r，
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠DEC=90°，
則∠DEC=∠EHB，
又∵∠B=∠C，
∴△EHB∽△DEC，
∴，
∵BH=1，，
∴，
在R_t△DEC中，DE²+EC²=CD²
∴，r＞0，
解得：，
∴⊙O的半徑為．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線、等腰梯形、切線的性質(zhì)及勾股定理等基礎(chǔ)知識(shí)，也考查了運(yùn)算能力、推理能力和空間觀念．