Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°D是AB邊上的一點，以BD為直徑的⊙0與邊AC相切于點E，連結(jié)DE并延長，與BC的延長線交于點F．

(1)求證：BD＝BF；

(2)若BC＝12，AD＝8，求BF的長．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)連結(jié)OE， 　　∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED 　　∵⊙O與邊AC相切于點E，∴OE⊥AE，∴∠OEA＝90° 　　∵∠ACB＝90°，∴∠OEA＝∠ACB，∴OE∥BC，∴∠F＝∠OED 　　∴∠ODE＝∠F 　　∴BD＝BF 　　(2)過D作DG⊥AC于G，連結(jié)BE， 　　∴∠DGC＝∠ECF，DG∥BC 　　∵BD為直徑，∴∠BED＝90° 　　∵BD＝BF，∴DE＝EF 　　在△DEG和△FEC中 　　∵∠DGC＝∠ECF，∠DEG＝∠FEC，DE＝EF 　　∴△DEG≌△FEC 　　∴DG＝CF 　　∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC 　　∴ 　　∴ 　　∴ 　　∴或(舍去) 　　∴BF＝BC＋CF＝12＋4＝16