Question

6．如圖，分別以點A和點C為直角頂點，以AC為直角邊，在AC的左右兩側(cè)作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ACE，延長線段AE至點F，使得AF=CE，連接BF交AC于H，交CE于G，連接AG．下列結(jié)論：①BF平分∠ABC；②AG=HG=GF；③EG=EF；④AB=BC+CH；⑤S_△AGC=S_{四邊形AHGE}．正確的有（　�。﹤�．

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 由等腰直角三角形的性質(zhì)得出BC=AC=AE，∠ACB=∠CAE=90°，∠ABC=∠ACE=45°，得出AE∥BC，證出四邊形ABCE是平行四邊形，得出AB=CE，AB∥CE，證出AF=AB，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABF=∠AFB，即可BF平分∠ABC，①正確；
由平行線的性質(zhì)得出∠EGF=∠ABF，得出∠EGF=∠EFG，因此EG=EF，③正確；
證出AE=CG=AC，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠CAG=∠CGA=67.5°，由對頂角相等得出∠AHG=∠BHC=67.5°=∠CAG，得出AG=HG，同理：AG=GF，即可得出②正確；
由ASA證明△CHG≌△EGA，得出CH=EG，△CHG的面積=△EGA的面積，因此S_△AGC=S_{四邊形AHGE}，⑤正確；
由AB=CE=CG+EG，CG=AC=BC，即可得出④正確；即可得出結(jié)論．

解答 解：∵△ABC和△ACE是等腰直角三角形，
∴BC=AC=AE，∠ACB=∠CAE=90°，∠ABC=∠ACE=45°，
∴AE∥BC，
∴四邊形ABCE是平行四邊形，∠AFB=∠CBF，
∴AB=CE，AB∥CE，
∵AF=CE，
∴AF=AB，
∴∠ABF=∠AFB，
∴∠ABF=∠CBF=22.5°，
即BF平分∠ABC，①正確；
∵AB∥CE，
∴∠EGF=∠ABF，
∴∠EGF=∠EFG，
∴EG=EF，③正確；
∵AF=CE，
∴AE=CG=AC，
∴∠CAG=∠CGA=67.5°，
∵∠AHG=∠BHC=90°-22.5°=67.5°=∠CAG，
∴AG=HG，
同理：AG=GF，
∴AG=HG=GF，②正確；
在△CHG和△EGA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GCH=∠AEG=45°}&{\;}\\{CG=AE}&{\;}\\{∠CGH=∠EAG=22.5°}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CHG≌△EGA（ASA），
∴CH=EG，△CHG的面積=△EGA的面積，
∴S_△AGC=S_{四邊形AHGE}，⑤正確；
∵AB=CE=CG+EG，CG=AC=BC，
∴AB=BC+CH，④正確，
正確的有5個，
故選：D．

點評 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等是解決問題④和⑤的關(guān)鍵．