Question

設(shè)拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A（-l，0）、B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，2）．
（1）求拋物線的解析式：
（2）問拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使得S_△ABM=2S_△ABC？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）已知點(diǎn)D（1，n）在拋物線上，過點(diǎn)A的直線y=-x-1交拋物線于另一點(diǎn)E．
①求tan∠ABD的值：
②若點(diǎn)P在x軸上，以點(diǎn)P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△AEB相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）把三點(diǎn)分別代入后求解可得：
a=，b=，c=2；
代入后得此函數(shù)解析式為：y=；

（2）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)M，使得S_△ABM=2S_△ABC
假設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（x_M，y_M），
所以有：•AB•h=2••AB•2，
其中h是三角形ABM AB 邊上的高等于y_M的絕對值，解得h=4，
二次函數(shù)解析式y(tǒng)=的最大值是＜4，
故x軸的上方不存在這樣的M點(diǎn)，
所以有y_M=-4，即有y==-4，
解得：x=，
即M點(diǎn)的坐標(biāo)為（）或者（）；

（3）①D（1，n）代入原函數(shù)解析式得：n=3
所以D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），
過點(diǎn)D作垂線DF⊥x軸，可得tan∠ABD=，
②由y=-x-1和y=；聯(lián)立求解得：
x=-1 y=0 或者 x=6 y=-7；
所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6，-7），
過點(diǎn)E作EH⊥x軸于H，則H（6，0），
所以AH=EH=7，∠EAH=45°，又因?yàn)閠an∠ABD=，故∠DBF=45°
所以∠EAH=∠DBF，且有∠DBH=135°
90°＜∠EBA＜135°，則點(diǎn)P只能在點(diǎn)B的左側(cè)，即有以下兩種情況：
1）△DBP∽△EAB，則有：，
所以BP=，故OP=4-=，
所以點(diǎn)P坐標(biāo)為（）
2）△DBP∽△BAE，則有，
所以BP=，
OP=，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-），
綜上所述點(diǎn)P坐標(biāo)為（）或者（-）．
分析：（1）把三個(gè)點(diǎn)分別代入解析式，再聯(lián)立求解，即可解出a、b、c的值，代入原函數(shù)解析式．
（2）先假設(shè)存在這樣的一個(gè)點(diǎn)，再根據(jù)實(shí)際情況看假設(shè)是否成立．
（3）①先求得D點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的相關(guān)性質(zhì)求解角度．
②兩三角形相似存在兩種情況：，根據(jù)這兩種情況分別列出方程是求解．
點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)解析式的確定，還涉及到了三角形面積等相關(guān)知識(shí)．