Question

如圖，在△ABD中，AB=AD，AO平分∠BAD，過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線交AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，連接BC．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）如果OA，OB（OA＞OB）的長(zhǎng)（單位：米）是一元二次方程x²-7x+12=0的兩根，求AB的長(zhǎng)以及菱形ABCD的面積；
（3）若動(dòng)點(diǎn)M從A出發(fā)，沿AC以2m/S的速度勻速直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)N從B出發(fā)，沿BD以1m/S的速度勻速直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止．若M、N同時(shí)出發(fā)，問(wèn)出發(fā)幾秒鐘后，△MON的面積為

1

4

m2？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，用“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”先判定平行四邊形，再用鄰邊相等證明菱形；
（2）解方程可得OA、OB的長(zhǎng)，用勾股定理可求AB，根據(jù)“菱形的面積對(duì)應(yīng)對(duì)角線積的一半”計(jì)算連線面積；
（3）根據(jù)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與O點(diǎn)的位置關(guān)系，分三種情況分別討論．

解答：（1）證明：∵AO平分∠BAD，AB∥CD
∴∠DAC=∠BAC=∠DCA
∴△ACD是等腰三角形，AD=DC
又∵AB=AD
∴AB=CD，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
又∵AB=AD，∴?ABCD是菱形；

（2）解：解方程x²-7x+12=0，得
OA=4，OB=3，
利用勾股定理AB=

OA2+OB2

=5，
S_菱形ABCD=

1

2

AC×BD=

1

2

×8×6=24平方米．

（3）解：在第（2）問(wèn)的條件下，設(shè)M、N同時(shí)出發(fā)x秒鐘后，△MON的面積為

1

4

m2，
當(dāng)點(diǎn)M在OA上時(shí)，x≤2，S_△MON=

1

2

（4-2x）（3-x）=

1

4

；
解得x₁=

5- 2

2

，x₂=

5+ 2

2

（大于2，舍去）；
當(dāng)點(diǎn)M在OC上且點(diǎn)N在OB上時(shí)，2＜x＜3，S_△MON=

1

2

（3-x）（2x-4）=

1

4

，
解得x₁=x₂=

5

2

；
當(dāng)點(diǎn)M在OC上且點(diǎn)N在OD上時(shí)，即3≤x≤4，S_△MON=

1

2

（2x-4）（x-3）=

1

4

；
解得x₁=

5+ 2

2

，x₂=

5- 2

2

（小于3，舍去）．
綜上所述：M，N出發(fā)

5- 2

2

秒，

5

2

秒，

5+ 2

2

秒鐘后，△MON的面積為

1

4

m2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的判定方法，菱形的面積計(jì)算方法，分類討論的數(shù)學(xué)思想．