Question

在△ABC中，AB=16，AC=10，∠ABC=30°，則BC=

 

．

Answer 1

考點：解直角三角形

專題：分類討論

分析：根據(jù)三角形為銳角三角形及鈍角三角形分兩種情況考慮：分別作出AD垂直于BC，在直角三角形ABD中，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半求出AD的長，再利用勾股定理求出BD的長，在直角三角形ADC中，由AC及AD的長，利用勾股定理求出DC的長，由BD+DC及BD-CD即可求出BC的長．

解答：解：分兩種情況考慮，
（i）當(dāng)△ABC為銳角三角形，過A作AD⊥BC，如圖1所示，

∵在Rt△ABD中，AB=16，∠ABC=30°，
∴AD=

1

2

AB=8，
利用勾股定理得：BD=

AB2-AD2

=8

3

，
在Rt△ADC中，AD=8，AC=10，
根據(jù)勾股定理得：DC=

AC2-AD2

=6，
則BC=BD+DC=8

3

+6；
（ii）當(dāng)△ABC為鈍角三角形，過A作AD⊥BC，如圖2所示，
∵在Rt△ABD中，AB=16，∠ABC=30°，
∴AD=

1

2

AB=8，
利用勾股定理得：BD=

AB2-AD2

=8

3

，
在Rt△ADC中，AD=8，AC=10，
根據(jù)勾股定理得：DC=

AC2-AD2

=6，
則BC=BD-DC=8

3

-6，
綜上，BC的長為8

3

+6或8

3

-6．
故答案為：8

3

+6或8

3

-6

點評：此題考查了含30°直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的數(shù)學(xué)思想，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．