Question

如圖，點A的坐標(biāo)為（1，1），點C是線段OA上的一個動點（不運動至O，A兩點），過點C作CD⊥x軸，垂足為D，以CD為邊在右側(cè)作正方形CDEF．連接AF并延長交x軸的正半軸于點B，連接OF，若以B，E，F(xiàn)為頂點的三角形與△OFE相似，B點的坐標(biāo)是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)點A坐標(biāo)是（1，1）可以確定∠AOB=45°，又四邊形CDEF是正方形，所以0D=CD=DE，即可證明△OFE的邊OE=2EF，再根據(jù)“以B，E，F(xiàn)為頂點的三角形與△OFE相似”分①EF=2EB，②EB=2EF兩種情況討論，根據(jù)△ACF與△AOB相似，相似三角形對應(yīng)高的比等于對應(yīng)邊的比列出比例式計算即可求出正方形的邊長，從而OB的長亦可求出．

解答：解：過點A作AH⊥OB，
∵點A的坐標(biāo)為（1，1），
∴AH=OH=1，∠AOB=45°，
∴OD=CD，
設(shè)CF=x，
∵四邊形CDEF是正方形，
∴CF∥DE，CD=CF=EF=DE，
∴CD=CF=EF=DE=x，
∴OE=OD+DE=2EF，
∵以B，E，F(xiàn)為頂點的三角形與△OFE相似，
∴①EF=2EB，則EB=

1

2

x，
∴OB=OE+EB=2x+

1

2

x=

5

2

x，
∵CF∥DE，
∴△ACF∽△AOB，
∴

CF

OB

=

1-x

1

，
即

x

5 2 x

=1-x，
解得x=

3

5

，
OB=

5

2

×

3

5

=

3

2

，
∴點B的坐標(biāo)為（

3

2

，0），
②EB=2EF時，則EB=2x，
∴OB=OE+EB=2x+2x=4x，
∵CF∥DE，
∴△ACF∽△AOB，
∴

CF

OB

=

1-x

1

，
即

x

4x

=1-x，
解得x=

3

4

，
OB=4x=4×

3

4

=3，
∴點B的坐標(biāo)為（3，0）．
綜上所述，點B的坐標(biāo)是（

3

2

，0）或（3，0）．
故答案為：（

3

2

，0）或（3，0）．

點評：此題考查了相似三角形的性質(zhì)對應(yīng)高的比等于對應(yīng)邊的比的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點A的坐標(biāo)（1，1）確定出OE=2EF，注意要分情況討論，避免漏解．