Question

4．如圖1所示為一上面無蓋的正方體紙盒，現(xiàn)將其剪開展成平面圖，如圖2所示，已知展開圖中每個(gè)正方形的邊長為1，
（1）求線段A′C′的長度；
（2）試比較立體圖中∠BAC與展開圖中∠B′A′C′的大小關(guān)系？并寫出過程．

Answer 1

分析 （1）由長方形中最長的線段為對角線，從而可根據(jù)已知運(yùn)用勾股定理求得最長線段的長；
（2）要確定角的大小關(guān)系，一般把兩個(gè)角分別放在兩個(gè)三角形中，然后根據(jù)三角形的特點(diǎn)或者全等或者相似形來解．

解答 解：（1）如圖（1）中的A′C′，在Rt△A′C′D′中，∵C′D′=1，A′D′=3，由勾股定理得，
∴$A'C'=\sqrt{C'D{'}^{2}+A'D{'}^{2}}=\sqrt{10}$
（2）∵立體圖中∠BAC為平面等腰直角三角形的一銳角，
∴∠BAC=45°．
在平面展開圖中，連接線段B′C′，由勾股定理可得：A'B'=$\sqrt{5}$，B'C'=$\sqrt{5}$．
又∵A′B′²+B′C′²=A′C′²，
由勾股定理的逆定理可得△A'B'C'為直角三角形．
又∵A′B′=B′C′，
∴△A′B′C′為等腰直角三角形．
∴∠B′A′C′=45°．
∴∠BAC與∠B′A′C′相等．

點(diǎn)評 本題綜合考查了展開與折疊，等腰直角三角形，勾股定理的知識(shí)，是一道綜合性比較強(qiáng)的題，難度中等．