(2002•黑龍江)如圖,直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點,OA、OB的長分別是關于x的方程x2-14x+4(AB+2)=0的兩個根(OB>OA),P是直線l上A、B兩點之間的一動點(不與A、B重合),PQ∥OB交OA于點Q.
(1)求tan∠BAO的值;
(2)若S△PAQ=S四邊形OQPB時,請確定點P在AB上的位置,并求出線段PQ的長;
(3)當點P在線段AB上運動時,在y軸上是否存在點M,使△MPQ為等腰直角三角形?若存在,請直接寫出點M的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)根據(jù)勾股定理得出OA2+OB2=AB2,求出AB.然后把AB代入等式求出x的值繼而求出OA,OB的值即可;
(2)已知S△PAQ=S四邊形OQPB,證明△PQA∽△BOA利用線段比求出AB,AP的值.知道PQ=PA•sin∠BAO,即可求解.
解答:解:(1)∵OA、OB的長分別是關于x的方程x2-14x+4(AB+2)=0的兩個根,
∴OA+OB=-=14,
由已知可得,
又∵OA2+OB2=AB2,
∴(OA+OB)2-2OA•OB=AB2,
即142-8(AB+2)=AB2
∴AB2+8AB-180=0,
∴AB=10或AB=-18(不合題意,舍去),
∴AB=10,
∴x2-14x+48=0,
解得x1=6,x2=8,
∵OB>OA,∴OA=6,OB=8,
∴tan∠BAO=

(2)∵S△PAQ=S四邊形OQPB
∴S△PAQ=S△AOB,
∵PQ∥BO,
∴△PQA∽△BOA,
,
.∵AB=10,
∴AP=5,
又∵tan∠BAO=,
∴sin∠BAO=
∴PQ=PA•sin∠BAO=

(3)存在,
設AB的解析式是y=kx+b,
,
解得:,
則解析式是:y=-x+8,
即4x+3y=24(*)

①當∠PQM=90°時,由PQ∥OB且|PQ|=|MQ|此時M點與原點O重合,設Q(a,0)則P(a,a)
有(a,a)代入(*)得a=
②當∠MPQ=90°,
由PQ∥OB且|MP|=|PQ|設Q(a,0)則M(0,a),P(a,a)進而得a=
24
7

③當∠PMQ=90°,由PQ∥OB,|PM|=|MQ|且|OM|=|OQ|=|PQ|
設Q(a,0)則M(0,a)點P坐標為(a,2a)代入(*)得a=
12
5

綜上所述,y軸上有三個點M1(0,0),M2(0,
24
7
)和M3(0,
12
5
)滿足使△PMQ為等腰直角三角形.
點評:本題綜合考查了一次函數(shù)的性質(zhì)以及三角函數(shù)的有關知識,難度較大.
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(2)沙塵暴從發(fā)生到結束,共經(jīng)過多少小時?
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