Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，AB=10，點(diǎn)O為AC上一點(diǎn)，以O(shè)A為半徑作⊙O交AB于點(diǎn)D，BD的中垂線(xiàn)分別交BD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)DF．
（1）求證：DF為⊙O的切線(xiàn)；
（2）若AO=x，DF=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD．

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵EF是BD的中垂線(xiàn)，

∴DF=BF．

∴∠FDB=∠B，

∵∠C=90°，

∴∠OAD+∠B=90°．

∴∠ODA+∠FDB=90°．

∴∠ODF=90°，

又∵OD為⊙O的半徑，

∴DF為⊙O的切線(xiàn)

（2）解：連接OF．

在Rt△ABC中，

∵∠C=90°，sinA= ，AB=10，

∴AC=6，BC=8，

∵AO=x，DF=y，

∴OC=6﹣x，CF=8﹣y，

在Rt△COF中，

OF2=（6﹣x）2+（8﹣x）2

在Rt△ODF中，

OF2=x2+y2

∴（6﹣x）2+（8﹣x）2=x2+y2，

∴y=﹣ x+ （0＜x≤6）

【解析】（1）連接OD，由于EF是BD的中垂線(xiàn)，DF=BF．從而可知∠FDB=∠B，又因?yàn)镺A=OD，所以∠OAD=∠ODA，從而可證明∠ODF=90°；（2）連接OF，由題意可知：AO=x，DF=y，OC=6﹣x，CF=8﹣y，然后在Rt△COF中與Rt△ODF中利用勾股定理分別求出OF，化簡(jiǎn)原式即可求出答案．
【考點(diǎn)精析】利用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)和解直角三角形對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知垂直于一條線(xiàn)段并且平分這條線(xiàn)段的直線(xiàn)是這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)；線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)和這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)．