Question

【題目】如圖，拋物線(xiàn)y=ax2+2ax+1與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)A，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)交該拋物線(xiàn)于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，且點(diǎn)C是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)．

（1）求這條拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；

（2）求直線(xiàn)AB對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x+1；（2）y=2x+2．

【解析】

試題分析：（1）拋物線(xiàn)與x軸僅有1個(gè)交點(diǎn)可知△=0時(shí)，即可得到4a2﹣4a=0，解方程即可求得a，即可得到拋物線(xiàn)解析式；（2）先求得A的坐標(biāo)，已知點(diǎn)C是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，可判定點(diǎn)A與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，再確定B點(diǎn)坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法求直線(xiàn)AB的解析式．

試題解析：

（1）∵拋物線(xiàn)y=ax2+2ax+1與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)A，

∴△=4a2﹣4a=0，解得a1=0（舍去），a2=1，

∴拋物線(xiàn)解析式為y=x2+2x+1；

（2）∵y=（x+1）2，

∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），

∵點(diǎn)C是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，

即點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于C點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

∴B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，

當(dāng)x=1時(shí)，y=x2+2x+1=1+2+1=4，則B（1，4），

設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=kx+b，

把A（﹣1，0），B（1，4）代入得，解得，

∴直線(xiàn)AB的解析式為y=2x+2．