Question

已知n為正整數(shù)，且4⁷＋4ⁿ＋4¹⁹⁹⁸是一個完全平方數(shù)，則n的值是____________.

Answer 1

1003或則3988

解：（1）4⁷+4ⁿ+4¹⁹⁹⁸
=（2⁷）²+2•2⁷•2^2n-8+（2¹⁹⁹⁸）²
∵4⁷+4ⁿ+4¹⁹⁹⁸是一個完全平方數(shù)．
∴2^2n-8=2¹⁹⁹⁸
即2n-8=1998．
∴當(dāng)n=1003時，4⁷+4ⁿ+4¹⁹⁹⁸是完全平方數(shù)；
（2）4⁷+4ⁿ+4¹⁹⁹⁸=4⁷+4¹⁹⁹⁸+4ⁿ，
=（2⁷）²+2•2⁷•2³⁹⁸⁸+（2ⁿ）²，
∵4⁷+4ⁿ+4¹⁹⁹⁸是一個完全平方數(shù)．
∴2³⁹⁸⁸=2ⁿ，
∴n=3988．
綜上得n=1003或n=3988．