【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(﹣ ,0)、B(3 ,0)、C(0,3)三點,線段BC與拋物線的對稱軸相交于D.該拋物線的頂點為P,連接PA、AD、DP,線段AD與y軸相交于點E.

(1)求該拋物線的解析式;
(2)在平面直角坐標系中是否存在點Q,使以Q、C、D為頂點的三角形與△ADP全等?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,說明理由;
(3)將∠CED繞點E順時針旋轉(zhuǎn),邊EC旋轉(zhuǎn)后與線段BC相交于點M,邊ED旋轉(zhuǎn)后與對稱軸相交于點N,連接PM、DN,若PM=2DN,求點N的坐標(直接寫出結(jié)果).

【答案】
(1)

解:設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x+ )(x﹣3 ),代入點C(0,3)后,得:

a(0+ )(0﹣3 )=3,解得 a=﹣

∴拋物線的解析式:y=﹣ (x+ )(x﹣3 )=﹣ x2+ x+3


(2)

解:設(shè)直線BC的解析式:y=kx+b,依題意,有:

,

解得

故直線BC:y=﹣ x+3.

由拋物線的解析式知:P( ,4),將點P的橫坐標代入直線BC中,得:D( ,2).

設(shè)點Q(x,y),則有:

QC2=(x﹣0)2+(y﹣3)2=x2+y2﹣6y+9、QD2=(x﹣ 2+(y﹣2)2=x2+y2﹣2 x﹣4y+7;

而:PA2=(﹣ 2+(0﹣4)2=28、AD2=(﹣ 2+(0﹣2)2=16、CD=PD=2;

△QCD和△APD中,CD=PD,若兩個三角形全等,則:

①Q(mào)C=AP、QD=AD時,

②QC=AD、QD=AP時,

解①、②的方程組,得: 、 、 ;

∴點Q的坐標為(3 ,4)、( ,﹣2)、(﹣2 ,1)或(0,7)


(3)

解:根據(jù)題意作圖如右圖;

由D( ,2)、B(3 ,0)知:DF=2,BF=2 ;

∴∠BDF=∠ADF=∠CDE=∠DCE=60°,即△CED是等邊三角形;

在△CEM和△DEN中,

∴△CEM≌△DEN,則 CM=DN,PM=2CM=2DN;

設(shè)點M(x,﹣ x+3),則有:

PM2=( ﹣x)2+(4+ x﹣3)2= x2 x+4、CM2=x2+ x2= x2;

已知:PM2=4CM2,則有:

x2 x+4=4× x2,解得 x= ;

∴CM=DN= ×x= × = ;

則:FN=DF﹣DN=2﹣ = ,

∴點N( , ).


【解析】(1)已知拋物線經(jīng)過的三點坐標,直接利用待定系數(shù)法求解即可.(2)由于點Q的位置可能有四處,所以利用幾何法求解較為復雜,所以可考慮直接用SSS判定兩三角形全等的方法來求解.那么,首先要證明CD=DP,設(shè)出點Q的坐標后,表示出QC、QD的長,然后由另兩組對應(yīng)邊相等列方程來確定點Q的坐標.(3)根據(jù)B、D的坐標,容易判斷出△CDE是等邊三角形,然后通過證△CEM、△DEN全等來得出CM=DN,首先設(shè)出點M的坐標,表示出PM、CM的長,由PM=2DN=2CM列方程確定點M的坐標,進一步得到CM的長后,即可得出DN的長,由此求得點N的坐標.

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2)如圖2,將圖1中的COD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為αα90°).連結(jié)AD、BC,點M為線段BC的中點,連結(jié)OM.請你判斷(1)中的結(jié)論是否仍然成立.若成立,請證明;若不成立,請說明理由;

3)如圖3,將圖1中的COD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)到使COD的一邊OD恰好與AOB的邊OA在同一條直線上時,點C落在OB上,點M為線段BC的中點.請你判斷(1)中線段ADOM之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化,寫出你的猜想,并加以證明.

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A.1
B.2
C.3
D.4

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①△ABG≌△AFG;②∠EAG=450;BG=GCAGCF; SFGC=3.6

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B. 第一次向左拐40, 第二次向右拐40

C. 第一次向左拐40, 第二次向左拐140

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