Question

12．如圖，直線l₁：y₁=x和直線l₂：y₂=-2x+6相交于點(diǎn)A，直線l₂與x軸交于點(diǎn)B，動點(diǎn)P沿路線O→A→B運(yùn)動．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)，并回答當(dāng)x取何值時y₁＞y₂？
（2）求△AOB的面積；
（3）當(dāng)△POB的面積是△AOB的面積的一半時，求出這時點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)函數(shù)圖象相交時，y₁=y₂，即-2x+6=x，再解即可得到x的值，再求出y的值，進(jìn)而可得點(diǎn)A的坐標(biāo)；當(dāng)y₁＞y₂時，圖象在直線AB的右側(cè)，進(jìn)而可得答案；
（2）由直線l₂：y₂=-2x+6求得B的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積即可求得；
（3）根據(jù)題意求得P的縱坐標(biāo)，代入兩直線解析式求得橫坐標(biāo)，即為符合題意的P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵直線l₁與直線l₂相交于點(diǎn)A，
∴y₁=y₂，即-2x+6=x，解得x=2，
∴y₁=y₂=2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2）；
觀察圖象可得，當(dāng)x＞2時，y₁＞y₂；
（2）由直線l₂：y₂=-2x+6可知，當(dāng)y=0時，x=3，
∴B（3，0），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×3×2=3；
（3）∵△POB的面積是△AOB的面積的一半，
∴P的縱坐標(biāo)為1，
∵點(diǎn)P沿路線O→A→B運(yùn)動，
∴P（1，1）或（$\frac{5}{2}$，1）．

點(diǎn)評 此題主要考查了兩直線相交，一次函數(shù)與不等式的關(guān)系以及三角形面積等，關(guān)鍵是掌握凡是函數(shù)圖象經(jīng)過的點(diǎn)必能滿足解析式．