Question

【題目】如圖，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始，按C→A→B→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．

（1）問(wèn)t為何值時(shí)，PA=PB？

（2）問(wèn)t為何值時(shí)，△BCP為等腰三角形？

（3）另有一點(diǎn)Q，從點(diǎn)C開(kāi)始，按C→B→A→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)P、Q中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)t為何值時(shí)，直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分？

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)t=或13s時(shí)PA=PB；（2）當(dāng)t=6s或13s或12s或 10.8s 時(shí)，△BCP為等腰三角形；（3）當(dāng)t為4秒或12秒時(shí)，直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分．

【解析】

（1）分兩種情況：點(diǎn)P在AC上和點(diǎn)P在AB上，分別根據(jù)移動(dòng)的路程，求得時(shí)間t的值即可；

（2）分兩種情況：①若P在邊AC上時(shí)，BC=CP=6cm，此時(shí)用的時(shí)間為6s；②若P在AB邊上時(shí)，有三種可能：i若使BP=CB=6cm，此時(shí)AP=4cm，P運(yùn)動(dòng)的路程為4+8=12cm，用的時(shí)間為12時(shí)；ii）若CP=BC=6cm，過(guò)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，根據(jù)面積法求得高CD=4.8cm，求出BP=2PD=7.2cm，得出P運(yùn)動(dòng)的路程為18-7.2=10.8cm，即可得出結(jié)果；ⅲ）若BP=CP，則∠PCB=∠B，證出PA=PC得出PA=PB=5cm，得出P的路程為13cm，即可得出結(jié)果；

（3）分兩種情況：①當(dāng)P、Q沒(méi)相遇前：P點(diǎn)走過(guò)的路程為t，Q走過(guò)的路程為2t，根據(jù)題意得出方程，解方程即可；②當(dāng)P、Q沒(méi)相遇后：當(dāng)P點(diǎn)在AB上，Q在AC上，則AP=t-8，AQ=2t-16，根據(jù)題意得出方程，解方程即可；即可得出結(jié)果.

解:（1）如圖2，作AB的垂直平分線DE，交AB于E，交AC于D，連接DB，

則DA=DB，EA=EB，

∵△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，

∴AC==8cm，

①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，PA=PB，

此時(shí)，CP=1t=t，AP=8﹣t=BP，

∴在Rt△BCP中，t2+62=（8﹣t）2，

解得t=；

②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，PA=PB，

此時(shí)，PA=PB=AB=5，

∴CA+AP=13，即1t=13，

解得t=13，

故當(dāng)t=或13s時(shí)，△BCP為等腰三角形；

（2）如圖3，若P在邊AC上時(shí)，BC=CP=6cm，

此時(shí)用的時(shí)間為6s，△BCP為等腰三角形；

若P在AB邊上時(shí)，有三種情況：

①如圖4，若使BP=CB=6cm，此時(shí)AP=4cm，P運(yùn)動(dòng)的路程為12cm，

所以用的時(shí)間為12s，故t=12s時(shí)△BCP為等腰三角形；

②如圖5，若CP=BC=6cm，過(guò)C作斜邊AB的高，

根據(jù)面積法求得高為4.8cm，

根據(jù)勾股定理求得BP=7.2cm，

所以P運(yùn)動(dòng)的路程為18﹣7.2=10.8cm，

∴t的時(shí)間為10.8s，△BCP為等腰三角形；

③如圖6，若BP=CP時(shí)，則∠PCB=∠PBC，

∵∠ACP+∠BCP=90°，∠PBC+∠CAP=90°，

∴∠ACP=∠CAP，

∴PA=PC

∴PA=PB=5cm

∴P的路程為13cm，所以時(shí)間為13s時(shí)，△BCP為等腰三角形．

∴當(dāng)t=6s或13s或12s或 10.8s 時(shí)，△BCP為等腰三角形；

（3）分兩種情況：①當(dāng)P、Q沒(méi)相遇前：如圖7,

P點(diǎn)走過(guò)的路程為tcm，Q走過(guò)的路程為2tcm，

∵直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分，

∴t+2t=12，

∴t=4s；

②當(dāng)P、Q相遇后：如圖8,

當(dāng)P點(diǎn)在AB上，Q在AC上，則AP=t﹣8，AQ=2t﹣16，

∵直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分，

∴t﹣8+2t﹣16=12，

∴t=12s，

故當(dāng)t為4秒或12秒時(shí)，直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分．