如圖,已知拋物線l1:y=x2-4的圖象與x軸相交于A、C兩點,B是拋物線l1上的動點(B不與A、C重合),拋物線l2與l精英家教網(wǎng)1關(guān)于x軸對稱,以AC為對角線的平行四邊形ABCD的第四個頂點為D.
(1)求l2的解析式;
(2)求證:點D一定在l2上;
(3)?ABCD能否為矩形?如果能為矩形,求這些矩形公共部分的面積(若只有一個矩形符合條件,則求此矩形的面積);如果不能為矩形,請說明理由.
注:計算結(jié)果不取近似值.
分析:(1)根據(jù)l1的解析式可求l1與x軸的交點為A(-2,0),C(2,0),頂點坐標是(0,-4),l2與l1關(guān)于x軸對稱,實際上是l2與l1的頂點關(guān)于x軸對稱,即l2的頂點為(0,4),設頂點式,可求拋物線l2的解析式;
(2)平行四邊形是中心對稱圖形,A、C關(guān)于原點對稱,則B、D也關(guān)于原點對稱,設點B(m,n),則點D(-m,-n),由于B(m,n)點是y=x2-4上任意一點,則n=m2-4,∴-n=-(m2-4)=-m2+4=-(-m)2+4,可知點D(-m,-n)在l2y=-x2+4的圖象上;
(3)構(gòu)造∠ABC=90°是關(guān)鍵,連接OB,只要證明OB=OC即可,為求OB長,過點B作BH⊥x軸于H,用B的坐標為(x0,x02-4),可求OB,用OB=OC求x0,再計算面積.
解答:解:(1)設l2的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0),
∵l1與x軸的交點為A(-2,0),C(2,0),頂點坐標是(0,-4),l2與l1關(guān)于x軸對稱,
∴l(xiāng)2過A(-2,0),C(2,0),頂點坐標是(0,4),(1分)精英家教網(wǎng)
4a-2b+c=0
4a+2b+c=0
c=4
(2分)
∴a=-1,b=0,c=4,
即l2的解析式為y=-x2+4.(3分)
(還可利用頂點式、對稱性關(guān)系等方法解答)

(2)設點B(m,n)為l1:y=x2-4上任意一點,則n=m2-4,(*)
∵四邊形ABCD′是平行四邊形,點A、C關(guān)于原點O對稱,
∴B、D′關(guān)于原點O對稱,(4分)
∴點D′的坐標為D′(-m,-n).
由式方程式可知,-n=-(m2-4)=-(-m)2+4,
即點D′的坐標滿足y=-x2+4,又D與D′關(guān)于y軸對稱,
∴點D在l2上.(5分)

(3)?ABCD能為矩形.(6分)
過點B作BH⊥x軸于H,由點B在l1:y=x2-4上,可設點B的坐標為(x0,x02-4),
則OH=|x0|,BH=|x02-4|.
易知,當且僅當BO=AO=2時,?ABCD為矩形.
在Rt△OBH中,由勾股定理得,|x0|2+|x02-4|2=22,
(x02-4)(x02-3)=0,
∴x0=±2(舍去)、x0
3
.(7分)
所以,當點B坐標為B(
3
,-1)或B′(-
3
,-1)時,?ABCD為矩形,
此時,點D的坐標分別是D(-
3
,1)、D′(
3
,1).
因此,符合條件的矩形有且只有2個,即矩形ABCD和矩形AB′CD′.(8分)
設直線AB與y軸交于E,顯然,△AOE∽△AHB,
EO
AO
=
BH
AH

EO
2
=
1
2+
3

∴EO=4-2
3
.(9分)
由該圖形的對稱性知矩形ABCD與矩形AB′CD′重合部分是菱形,其面積為
S=2S△ACE=2×
1
2
×AC×EO=2×
1
2
×4×(4-2
3
)=16-8
3
.(10分)
(還可求出直線AB與y軸交點E的坐標解答)
點評:本題是一道函數(shù)型綜合題,涉及二次函數(shù)、相似形、四邊形等知識,三個小題的坡度設計很恰當,能較好地體現(xiàn)出試題的區(qū)分度,對第2題的證明過程要仔細領(lǐng)悟.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

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28、如圖,已知拋物線l1:y=x2-4的圖象與x有交于A、C兩點,
(1)若拋物線l2與l1關(guān)于x軸對稱,求l2的解析式;
(2)若點B是拋物線l1上的一動點(B不與A、C重合),以AC為對角線,A、B、C三點為頂點的平行四邊形的第四個頂點定為D,求證:點D在l2上;
(3)探索:當點B分別位于l1在x軸上、下兩部分的圖象上時,平行四邊形ABCD的面積是否存在最大值和最小值?若存在,判斷它是何種特殊平行四邊形,并求出它的面積;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線l1:y=
1
2
(x-2)2-2與x軸分別交于O、A兩點,將拋物線l1向上平移得到l2,過點A作AB⊥x軸交拋物線l2于點B,如果由拋物線l1、l2、直線AB及y軸所圍成的陰影部分的面積為16,則拋物線l2的函數(shù)表達式為(  )
A、y=
1
2
(x-2)2+4
B、y=
1
2
(x-2)2+3
C、y=
1
2
(x-2)2+2
D、y=
1
2
(x-2)2+1

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•寶安區(qū)一模)如圖,已知拋物線l1:y=-x2+2x與x軸分別交于A、O兩點,頂點為M.將拋物線l1關(guān)于y軸對稱到拋物線l2.則拋物線l2過點O,與x軸的另一個交點為B,頂點為N,連接AM、MN、NB,則四邊形AMNB的面積( 。

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•寶安區(qū)一模)如圖,已知拋物線l1:y=x2-6x+5與x軸分別交于A、B兩點,頂點為M.將拋物線l1沿x軸翻折后再向左平移得到拋物線l2.若拋物線l2過點B,與x軸的另一個交點為C,頂點為N,則四邊形AMCN的面積為( 。

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