Question

【題目】已知，中，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接．

（1）如圖1，當(dāng)平分時(shí)，于，的周長為，求的長．

（2）如圖2，延長至，使，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段，連接，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，求證：．

Answer 1

【答案】（1）10m；（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=45°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CE=EH=BH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AH=AC，于是得到結(jié)論；
（2）先連接AD，依據(jù)AAS判定△ADF≌△ABE，得到DF=BE，再判定△BCG≌△DCF，得出DF=BG，進(jìn)而得到BG=BE．

解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=45°，
∵AE平分∠BAC時(shí)，EH⊥AB于H，
∴CE=EH=BH，
在Rt△ACE與Rt△AHE中，

，

∴Rt△ACE與Rt△AHE（HL），
∴AH=AC，
∴AH=BC，
∵△EHB的周長為10m，
∴AB=AH+BH=BC+BH=10m；

（2）如圖所示，連接AD，
線段AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段AF，則AE=AF，∠EAF=90°，
∵AC⊥BD，DC=BC，
∴AD=AB，∠ABE=∠ADC=45°，
∴∠BAD=90°=∠EAF，
∴∠BAE=∠DAF，

在△ABE和△ADF中，

，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴DF=BE，∠ADF=∠ABE=45°，
∴∠FDC=90°，
∵BG⊥BC，
∴∠CBG=∠CDF=90°，
又∵BC=DC，∠BCG=∠DCF，

在△BCG和△DCF中，

，
∴△BCG≌△DCF（ASA），
∴DF=BG，
∴BG=BE．