Question

如圖，已知拋物線m的解析式為y=x²-4，與x軸交于A、C兩點，B是拋物線m上的動點（B不與A、C重合），且B在x軸的下方，拋物線n與拋物線m關(guān)于x軸對稱，以AC為對角線的平行四邊形ABCD的第四個頂點為D．
（1）求證：點D一定在拋物線n上．
（2）平行四邊形ABCD能否為矩形？若能為矩形，求出這些矩形公共部分的面積（若只有一個矩形符合條件，則求此矩形的面積）；若不能為矩形，請說明理由．
（3）若（2）中過A、B、C、D的圓交y軸于E、F，而P是弧CF上一動點（不包括C、F兩點），連接AP交y軸于N，連接EP交x軸于M．當P在運動時，四邊形AEMN的面積是否改變？若不變，則求其面積；若變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)m的解析式可求m與x軸的交點為A（-2，0），C（2，0），頂點坐標是（0，-4），n與m關(guān)于x軸對稱，實際上是n與m的頂點關(guān)于x軸對稱，即l₂的頂點為（0，4），設(shè)頂點式，可求拋物線n的解析式，利用平行四邊形是中心對稱圖形，A、C關(guān)于原點對稱，則B、D也關(guān)于原點對稱，設(shè)點B（m，n），則點D（-m，-n），由于B（m，n）點是y=x²-4上任意一點，則n=m²-4，∴-n=-（m²-4）=-m²+4=-（-m）²+4，可知點D（-m，-n）在n，y=-x²+4的圖象上；
（2）構(gòu)造∠ABC=90°是關(guān)鍵，連接OB，只要證明OB=OC即可，
（3）求出OB長，過點B作BH⊥x軸于H，用B的坐標為（x，x²-4），可求OB，用OB=OC求x，再計算面積．
解答：（1）證明：設(shè)n的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
∵n與x軸的交點為A（-2，0），C（2，0），頂點坐標是（0，-4），m與n關(guān)于x軸對稱，
∴m過A（-2，0），C（2，0），頂點坐標是（0，4），
∴
∴a=-1，b=0，c=4，
即n的解析式為y=-x²+4，
設(shè)點B（m，n）為m：y=x²-4上任意一點，則n=m²-4，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，點A、C關(guān)于原點O對稱，
∴B、D關(guān)于原點O對稱，
∴點D的坐標為D（-m，-n）．
由式方程式可知，-n=-（m²-4）=-（-m）²+4，
即點D的坐標滿足y=-x²+4，
∴點D在n上．

（2）解：?ABCD能為矩形．
過點B作BH⊥x軸于H，由點B在m：y=x²-4上，可設(shè)點B的坐標為（x，x²-4），
則OH=|x|，BH=|x²-4|．
易知，當且僅當BO=AO=2時，?ABCD為矩形．
在Rt△OBH中，由勾股定理得，|x|²+|x²-4|²=2²，
（x²-4）（x²-3）=0，
∴x=±2（舍去）、x=±．（7分）
所以，當點B坐標為B（ ，-1）或B′（-，-1）時，?ABCD為矩形，
此時，點D的坐標分別是D（-，1）、D′（ ，1）．
因此，符合條件的矩形有且只有2個，即矩形ABCD和矩形AB′CD′．

（3）解：設(shè)直線AB與y軸交于E，顯然，△AOE∽△AHB，
∴=，
∴．
∴EO=4-2 ．
由該圖形的對稱性知矩形ABCD與矩形AB′CD′重合部分是菱形，其面積為
S=2S_△ACE=2××AC×EO=2××4×（4-2 ）=16-8 ．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)、相似形、四邊形等知識，三個小題的坡度設(shè)計很恰當，能較好地體現(xiàn)出試題的區(qū)分度，對第2題的證明過程要仔細領(lǐng)悟．