Question

如圖，點A（4，0），C（0，4）在平面直角坐標系中，將△AOC關于AC作軸對稱得△ABC．動點P從點A出發(fā)，沿折線A→B→C運動至點C停止．連接OP，交AC于點N，則當△AON為等腰三角形時，點P的坐標是

 

．

Answer 1

考點：一次函數綜合題

專題：

分析：分類討論：AN=ON，AO=ON，AN=OA，根據△AOC關于AC作軸對稱得△ABC，可得OABC是正方形，根據正方形的對角線相等且垂直且平分，可得ON=AN的條件，根據ON=AO=4，可得N與C重合，根據相似三角形的對應邊成比例，可得CP的長．

解答：解：將等腰直角三角形△AOC關于AC作軸對稱得△ABC，得
OABC是正方形，B點坐標是（4，4）．
①當AN=ON時，△AON為等腰三角形，N是正方形對角線的交點，即P與B重合（4，4）；
②當OA=ON時，△AON為等腰三角形，N與C重合，即N點坐標是（0，4）；
③當AN=AO=4時，如圖：
，
由勾股定理得AC=

AO2+OC2

=

42+42

=4

2

，
由線段的和差，得CN=AC-AN=4

2

-4，
由CP∥AO，得△CNP∽△ANO，
由△CNP∽△ANO，得

CP

AO

=

CN

AN

，即

CP

4

=

4 2 -4

4

．解得CP=4

2

-4，即P（4

2

-4，4）；
綜上所述：當△AON為等腰三角形時，點P的坐標是（4，4），（0，4），（4

2

-4，4），
故答案為：（4，4），（0，4）（4

2

-4，4）．

點評：本題考查了一次函數的綜合題，分類討論是解題關鍵，利用了等腰三角形的判定，正方形的性質：對角線相等且垂直平分，相似三角形的判定與性質．