Question

8．將一矩形紙片按圖1-圖4方式折疊：
第一步，在矩形紙片的一端，利用圖1的方法折出一個正方形，然后把紙片展平；
第二步：如圖2，把這個正方形折成兩個相等的矩形，再把紙片展平；
第三步：折出內(nèi)側(cè)矩形的對角線AB，并將AB折到圖3中所示的AD處；
第四步：展平紙片，按照所得的點D折出DE．
我們稱寬與長的比是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（約為0.618）的矩形為黃金矩形．
（1）若MN=4cm
①圖3中AB=2$\sqrt{5}$cm；
②圖4中的黃金矩形為BCDE；
（2）設(shè)AB=a，AQ+BD=b，AQ•BD=c，請用一個等式表示a、b、c之間的數(shù)量關(guān)系并證明．

Answer 1

分析 （1）由折疊有BF=$\frac{1}{2}$BM=$\frac{1}{2}$MN=2，在Rt△ABF中，利用勾股定理計算即可；
（2）設(shè)正方形BCNM的邊長為2a，利用對折的性質(zhì)得AC=a，再在△ABC中根據(jù)勾股定理計算出AB=$\sqrt{5}$a，然后根據(jù)黃金矩形的定義進(jìn)行判斷．接著利用對折得AD=AB，所以CD=AD-AC即可；
（3）先判定四邊形ADBQ是菱形，再用勾股定理計算即可．

解答 解：（1）由折疊有BF=$\frac{1}{2}$BM=$\frac{1}{2}$MN=2，
在Rt△ABF中，AF=MN=4，
∴AB=$\sqrt{A{F}^{2}+B{F}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
故答案為2$\sqrt{5}$；
（2）設(shè)正方形BCNM的邊長為2a，
∵正方形BCNM沿AF對折，
∴AC=$\frac{1}{2}$NC=a，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
∵AD=AB=$\sqrt{5}$a，
∴CD=AD-AC=（$\sqrt{5}$-1）a，
∴$\frac{CD}{BC}$=$\frac{（\sqrt{5}-1）a}{2a}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴矩形BCDE就是黃金矩形，
故答案為BCDE．
（3）連接BD交AQ于點O，由折疊有∠BAQ=∠DAQ，AB=AD，
∴AQ⊥BD，BO=DO，
∵BQ∥AD，
∴∠DAQ=∠AQB，
∴∠BAQ=∠BQA，
∵AQ⊥BD，
∴OA=OQ，
∴四邊形ADQB是平行四邊形，
∵AB=AD，
∴四邊形ADBQ是菱形，
∴AB=BQ=a，
根據(jù)勾股定理得，AB²=BF²+AF²，
∴a²=BF²+（2BF）²，
∴BF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a，
∴FQ=BF+BQ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a+a=（1+$\frac{\sqrt{5}}{5}$）a，AF=2BF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a，
根據(jù)勾股定理得，AQ²=FQ²+AF²=[（1+$\frac{\sqrt{5}}{5}$）a]²+（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a）²=2（$\frac{1+\sqrt{5}}{5}$）a²，
∵AQ×BD=c，
∴BD=$\frac{c}{AQ}$，
∵AQ+BD=b，
∴AQ+$\frac{c}{AQ}$=b，
∴AQ²+$\frac{{c}^{2}}{A{Q}^{2}}$=b，
∴（AQ²）²+c²=bAQ²，
∴[2（$\frac{1+\sqrt{5}}{5}$）a²]²+c²=b×2（$\frac{1+\sqrt{5}}{5}$）a²
∴[2（$\frac{1+\sqrt{5}}{5}$）a²-$\frac{2}$]²=$\frac{^{2}}{4}$-c²．

點評 此題幾何變換綜合題，主要考查了黃金分割，折疊的性質(zhì)，勾股定理，解本題的關(guān)鍵是判定四邊形ADBQ是菱形，找a，b，c的關(guān)系是本題的難點．