Question

已知：如圖①，△ABC中，AI、BI分別平分∠BAC、∠ABC．CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，交BI延長(zhǎng)線于E，聯(lián)結(jié)CI．
（1）設(shè)∠BAC=2α．如果用α表示∠BIC和∠E，那么∠BIC=

 

，∠E=

 

；
（2）如果AB=1，且△ABC與△ICE相似時(shí)，求線段AC的長(zhǎng)；
（3）如圖②，延長(zhǎng)AI交EC延長(zhǎng)線于F，如果∠α=30°，sin∠F=

3

5

，設(shè)BC=m，試用m的代數(shù)式表示BE．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系可以用α表示∠BIC和∠E；
（2）△ABC與△ICE相似，根據(jù)題意知∠ICE=90°，可分三種情況討論．根據(jù)“相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等”求出相應(yīng)AC長(zhǎng)；
（3）由于∠ACD是△ABC的外角，可得出∠ACD=∠BAC+∠ABC；由于CE、IA、IB分別為∠ACD、∠BAC、∠ABC的角平分線，不難得出∠ECD=∠BCF=∠BIF=∠BAI+∠ABI，由此可得出∠BCE=∠EIF，即可證得△EBC∽△EFI．所以根據(jù)該相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例來求m的值．

解答：解：（1）在△BCE中有：∠E=180°-∠BCE-∠CBE，
又∵AI、BI分別平分∠BAC，
∴CI是∠ACB的平分線，
∵CE是∠ACD的平分線，
∴∠ECI是平角∠BCD的一半，
∴∠ECI=90°，
∴∠E=90°-∠BCI-∠CBI，
在△ABC中，

1

2

∠BAC=

1

2

（180°-∠ABC-∠ACB）=90°-∠BCI-∠CBE=α，即∠E=α．
在三角形BIC中，由外角性質(zhì)得到：∠BIC=90°+α，
綜上所述，∠BIC=90°+α，∠E=α．
故填：90°+α，α；

（2）由題意易證得△ICE是直角三角形，且∠E=α．
當(dāng)△ABC∽△ICE時(shí)，可得△ABC是直角三角形，有下列三種情況：
①當(dāng)∠ABC=90° 時(shí)，∵∠BAC=2α，∠E=α；
∴只能∠E=∠BCA，可得∠BAC=2∠BCA．
∴∠BAC=60°，∠BCA=30°．
∴AC=2 AB．
∵AB=1，
∴AC=2．
②當(dāng)∠BCA=90° 時(shí)，
∵∠BAC=2α，∠E=α；
∴只能∠E=∠ABC，可得∠BAC=2∠ABC．
∴∠BAC=60°，∠ABC=30°．
∴AB=2 AC．
∵AB=1，
∴AC=

1

2

．
③當(dāng)∠BAC=90° 時(shí)，∵∠BAC=2α，∠E=α；
∴∠E=∠BAI=∠CAI=45°．
∴△ABC是等腰直角三角形．即 AC=AB．
∵AB=1，
∴AC=1．
∴綜上所述，當(dāng)△ABC∽△ICE時(shí)，線段AC的長(zhǎng)為1或2或

1

2

．

（3）∵∠E=∠CAI，由三角形內(nèi)角和可得∠AIE=∠ACE．
∴∠AIB=∠ACF．
又∵∠BAI=∠CAI，
∴∠ABI=∠F．
又∵BI平分∠ABC，
∴∠ABI=∠F=∠EBC．
又∵∠E是公共角，
∴△EBC∽△EFI．
在Rt△ICF中，sin∠F=

3

5

，設(shè)IC=3k，那么CF=4k，IF=5k．
在Rt△ICE中，∠E=30°，設(shè)IC=3k，那么CE=3

3

k，IE=6k．
∵△EBC∽△EFI．
∴

BC

BE

=

IF

FE

=

5k

4k+3 3 k

．
又∵BC=m，
∴BE=

4+3 3

5

m．

點(diǎn)評(píng)：本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系．兩三角形相似，注意根據(jù)對(duì)應(yīng)邊的不同，分情況討論是解決本題的關(guān)鍵．