Question

AB為⊙O的直徑，C為

AE

的中點，CF⊥AB于點D，交AE于G．
（1）CG與AG相等嗎？為什么？
（2）若CG=

5

4

，tan∠EAB=

3

4

，求BD的長．

Answer 1

考點：垂徑定理,勾股定理,解直角三角形

專題：計算題

分析：（1）連結(jié)AC，如圖，由CF⊥AB，根據(jù)垂徑定理得弧AC=弧AF，則弧CE=弧AF，根據(jù)圓周角定理得∠ACF=∠CAE，所以CG=AG；
（2）連結(jié)BC，如圖，在Rt△AGD中，利用正切的定義得tan∠GAD=

DG

AD

=

3

4

，設(shè)DG=3t，則AD=4t，則AG=5t，所以5t=

5

4

，解得t=

1

4

，則AD=1，DG=

3

4

，CD=CG+DG=2，然后證明Rt△ACD∽Rt△CBD，利用相似比計算BD的長．

解答：解：（1）CG=AG．理由如下：
連結(jié)AC，如圖，
∵C為

AE

的中點，
∴弧CE=弧AC，
∵CF⊥AB，
∴弧AC=弧AF，
∴弧CE=弧AF，
∴∠ACF=∠CAE，
∴CG=AG；
（2）連結(jié)BC，如圖，
在Rt△AGD中，CG=AG=

5

4

，
tan∠GAD=

DG

AD

=

3

4

，
設(shè)DG=3t，則AD=4t，
∴AG=

AD2+DG2

=5t，
∴5t=

5

4

，解得t=

1

4

，
∴AD=1，DG=

3

4

，
∴CD=CG+DG=2，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠B=90°，
而∠BCD+∠B=90°，
∴∠CAD=∠BCD，
∴Rt△ACD∽Rt△CBD，
∴CD：BD=AD：CD，即2：BD=1：2，
∴BD=4．

點評：本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了圓周角定理和勾股定理．